Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtxdgfival Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfival 40685
 Description: The degree of a vertex for graphs of finite size. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgval.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfival ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtxdgfival
StepHypRef Expression
1 vtxdgval.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdgval.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdgval.a . . . 4 𝐴 = dom 𝐼
41, 2, 3vtxdgval 40684 . . 3 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
54adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
6 rabfi 8070 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin)
7 hashcl 13009 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
98nn0red 11229 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ)
10 rabfi 8070 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)
11 hashcl 13009 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
1312nn0red 11229 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ)
149, 13jca 553 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
1514adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
16 rexadd 11937 . . 3 (((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ) → ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
185, 17eqtrd 2644 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  {csn 4125  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-hash 12980  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  vtxdg0e  40689  vtxdgfisnn0  40690
 Copyright terms: Public domain W3C validator