Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signshf Structured version   Unicode version

Theorem signshf 27134
 Description: , corresponding to the word multiplied by , as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p
signsv.w
signsv.t Word ..^ g sgn
signsv.v Word ..^
signs.h concat concat 𝑓/𝑐
Assertion
Ref Expression
signshf Word ..^
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,,,)   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,)

Proof of Theorem signshf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubcl 9785 . . . 4
21adantl 466 . . 3 Word
3 0re 9498 . . . . . . . 8
43a1i 11 . . . . . . 7 Word
54s1cld 12413 . . . . . 6 Word Word
6 simpl 457 . . . . . 6 Word Word
7 ccatcl 12393 . . . . . 6 Word Word concat Word
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . 5 Word concat Word
9 wrdf 12359 . . . . 5 concat Word concat ..^ concat
108, 9syl 16 . . . 4 Word concat ..^ concat
11 ccatlen 12394 . . . . . . . . 9 Word Word concat
125, 6, 11syl2anc 661 . . . . . . . 8 Word concat
13 s1len 12415 . . . . . . . . 9
1413oveq1i 6211 . . . . . . . 8
1512, 14syl6eq 2511 . . . . . . 7 Word concat
16 ax-1cn 9452 . . . . . . . . 9
1716a1i 11 . . . . . . . 8 Word
18 wrdfin 12367 . . . . . . . . . 10 Word
19 hashcl 12244 . . . . . . . . . 10
206, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9 Word
2120nn0cnd 10750 . . . . . . . 8 Word
2217, 21addcomd 9683 . . . . . . 7 Word
2315, 22eqtrd 2495 . . . . . 6 Word concat
2423oveq2d 6217 . . . . 5 Word ..^ concat ..^
2524feq2d 5656 . . . 4 Word concat ..^ concat concat ..^
2610, 25mpbid 210 . . 3 Word concat ..^
27 remulcl 9479 . . . . 5
2827adantl 466 . . . 4 Word
29 ccatcl 12393 . . . . . . 7 Word Word concat Word
305, 29syldan 470 . . . . . 6 Word concat Word
31 wrdf 12359 . . . . . 6 concat Word concat ..^ concat
3230, 31syl 16 . . . . 5 Word concat ..^ concat
33 ccatlen 12394 . . . . . . . . 9 Word Word concat
345, 33syldan 470 . . . . . . . 8 Word concat
3513oveq2i 6212 . . . . . . . 8
3634, 35syl6eq 2511 . . . . . . 7 Word concat
3736oveq2d 6217 . . . . . 6 Word ..^ concat ..^
3837feq2d 5656 . . . . 5 Word concat ..^ concat concat ..^
3932, 38mpbid 210 . . . 4 Word concat ..^
40 ovex 6226 . . . . 5 ..^
4140a1i 11 . . . 4 Word ..^
42 simpr 461 . . . . 5 Word
4342rpred 11139 . . . 4 Word
4428, 39, 41, 43ofcf 26691 . . 3 Word concat 𝑓/𝑐 ..^
45 inidm 3668 . . 3 ..^ ..^ ..^
462, 26, 44, 41, 41, 45off 6445 . 2 Word concat concat 𝑓/𝑐 ..^
47 signs.h . . 3 concat concat 𝑓/𝑐
4847feq1i 5660 . 2 ..^ concat concat 𝑓/𝑐 ..^
4946, 48sylibr 212 1 Word ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648  cvv 3078  cif 3900  cpr 3988  ctp 3990  cop 3992   cmpt 4459  wf 5523  cfv 5527  (class class class)co 6201   cmpt2 6203   cof 6429  cfn 7421  cc 9392  cr 9393  cc0 9394  c1 9395   caddc 9397   cmul 9399   cmin 9707  cneg 9708  cn0 10691  crp 11103  cfz 11555  ..^cfzo 11666  chash 12221  Word cword 12340   concat cconcat 12342  cs1 12343  sgncsgn 12694  csu 13282  cnx 14290  cbs 14293   cplusg 14358   g cgsu 14499  ∘𝑓/𝑐cofc 26683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-concat 12350  df-s1 12351  df-ofc 26684 This theorem is referenced by:  signshwrd  27135  signshlen  27136
 Copyright terms: Public domain W3C validator