Theorem vieta1lem1 23869

Description: Lemma for vieta1 23871. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta1.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
vieta1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5	⊢ (𝜑 → (#‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7	⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (#‘(◡𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (◡𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9	⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
vieta1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta1lem.9	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
2		plyssc 23760	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3		vieta1.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5	2, 4	sseldi 3566	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6		vieta1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 “ {0})
7		cnvimass 5404	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
8	6, 7	eqsstri 3598	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9		plyf 23758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11		fdm 5964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
13	8, 12	syl5sseq 3616	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3568	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
15		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))
16	15	plyremlem 23863	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
18	17	simp1d 1066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
19	17	simp2d 1067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
20		ax-1ne0 9884	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
23		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
24		dgr0 23822	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
25	23, 24	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
26	25	necon3i 2814	. . . . 5 ⊢ ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
27	22, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
28		quotcl2 23861	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
29	5, 18, 27, 28	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
30	1, 29	syl5eqel 2692	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
31		ax-1cn 9873	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 1 ∈ ℂ)
33		vieta1lem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
34	33	nncnd 10913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
36		dgrcl 23793	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
37	30, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 11230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
39		addcom 10101	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
40	31, 35, 39	sylancr 694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
41		vieta1lem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
42		vieta1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
43	41, 42	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
45	6	eleq2i 2680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}))
46		ffn 5958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
47	10, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
48		fniniseg 6246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
50	45, 49	syl5bb 271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
51	50	simplbda 652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝑧) = 0)
52	15	facth 23865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
53	4, 14, 51, 52	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
54	1	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))))
55	53, 54	syl6eqr 2662	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 = ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄))
56	55	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)))
57	33	peano2nnd 10914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
58	41, 57	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
59	58	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
60	42, 59	syl5eqner 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
61		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
62	61, 24	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
63	62	necon3i 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
66	55, 65	eqnetrrd 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝)
67		plymul0or 23840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
68	18, 30, 67	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
69	68	necon3abid 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝)))
70	66, 69	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
71		neanior 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 ∨ 𝑄 = 0𝑝))
72	70, 71	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝 ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝))
73	72	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
74		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
75		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
76	74, 75	dgrmul 23830	. . . . . 6 ⊢ ((((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
77	18, 27, 30, 73, 76	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (deg‘((Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
78	44, 56, 77	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
79	19	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → ((deg‘(Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
80	40, 78, 79	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
81	32, 35, 38, 80	addcanad 10120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
82	30, 81	jca 553	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {csn 4125   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979  Σcsu 14264  0_𝑝c0p 23242  Polycply 23744  X_pcidp 23745  coeffccoe 23746  degcdgr 23747   quot cquot 23849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-idp 23749  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-quot 23850

This theorem is referenced by:  vieta1lem2  23870