Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facth 23865
 Description: The factor theorem. If a polynomial 𝐹 has a root at 𝐴, then 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹 (and the other factor is 𝐹 quot 𝐺). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
facth.1 𝐺 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
facth ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))

Proof of Theorem facth
StepHypRef Expression
1 facth.1 . . . . 5 𝐺 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))
2 eqid 2610 . . . . 5 (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
31, 2plyrem 23864 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹𝐴)}))
433adant3 1074 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹𝐴)}))
5 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹𝐴) = 0)
65sneqd 4137 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → {(𝐹𝐴)} = {0})
76xpeq2d 5063 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (ℂ × {(𝐹𝐴)}) = (ℂ × {0}))
84, 7eqtrd 2644 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}))
9 cnex 9896 . . . 4 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ℂ ∈ V)
11 simp1 1054 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
12 plyf 23758 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
141plyremlem 23863 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
15143ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
1615simp1d 1066 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
17 plyssc 23760 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
1817, 11sseldi 3566 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
1915simp2d 1067 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) = 1)
20 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 1 ≠ 0)
2219, 21eqnetrd 2849 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) ≠ 0)
23 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
24 dgr0 23822 . . . . . . . . 9 (deg‘0𝑝) = 0
2523, 24syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
2625necon3i 2814 . . . . . . 7 ((deg‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
2722, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
28 quotcl2 23861 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
2918, 16, 27, 28syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
30 plymulcl 23781 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
3116, 29, 30syl2anc 691 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
32 plyf 23758 . . . 4 ((𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
3331, 32syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
34 ofsubeq0 10894 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
3510, 13, 33, 34syl3anc 1318 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
368, 35mpbid 221 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145  0𝑝c0p 23242  Polycply 23744  Xpcidp 23745  degcdgr 23747   quot cquot 23849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-idp 23749  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-quot 23850 This theorem is referenced by:  fta1lem  23866  vieta1lem1  23869  vieta1lem2  23870
 Copyright terms: Public domain W3C validator