MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cnd Structured version   Unicode version

Theorem nn0cnd 10630
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0cnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nn0cnd
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 10629 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32recnd 9404 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   CCcc 9272   NN0cn0 10571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-nn 10315  df-n0 10572
This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  11688  expaddzlem  11899  expaddz  11900  expmulz  11902  facdiv  12055  faclbnd4lem3  12063  bcp1n  12084  bcn2m1  12092  bcn2p1  12093  hashgadd  12132  hashdom  12134  hashun3  12139  hashssdif  12159  hashxplem  12187  hashmap  12189  hashbclem  12197  hashf1lem2  12201  hashf1  12202  ccatcl  12266  ccatval3  12270  ccatlid  12276  ccatrid  12277  ccatass  12278  wrdlenccats1lenm1  12297  ccats1val2  12299  ccatws1lenrev  12301  swrdid  12313  addlenswrd  12323  swrdtrcfvl  12336  swrdccat2  12344  ccatopth2  12357  cats1un  12362  swrdccat3b  12379  spllen  12388  splfv2a  12390  revccat  12398  cshwlen  12428  cshwidxmod  12432  repswcshw  12438  2cshwid  12440  cshweqdif2  12445  isercoll2  13138  iseraltlem3  13153  binomlem  13284  bcxmas  13290  incexclem  13291  incexc  13292  incexc2  13293  climcndslem1  13304  climcndslem2  13305  arisum  13314  arisum2  13315  geomulcvg  13328  mertens  13338  effsumlt  13387  dvdsexp  13581  divalgmod  13602  bitsinv1lem  13629  sadcp1  13643  sadcaddlem  13645  sadadd2lem  13647  sadadd3  13649  sadaddlem  13654  sadasslem  13658  smupp1  13668  smumullem  13680  mulgcd  13722  absmulgcd  13723  mulgcdr  13724  gcddiv  13725  mulgcddvds  13782  qredeu  13785  odzdvds  13859  coprimeprodsq  13868  pceulem  13904  pczpre  13906  pcqmul  13912  pcaddlem  13942  pcmpt  13946  pcmpt2  13947  sumhash  13950  mul4sq  14007  4sqlem12  14009  vdwapun  14027  vdwlem2  14035  vdwlem3  14036  vdwlem6  14039  vdwlem8  14041  vdwlem9  14042  ramub1lem2  14080  ramcl  14082  mulgnn0dir  15641  mulgnn0ass  15647  lagsubg2  15733  psgnunilem2  15992  odmodnn0  16034  odmulg  16048  odmulgeq  16049  odinv  16053  sylow1lem1  16088  sylow2a  16109  sylow2blem3  16112  sylow3lem3  16119  sylow3lem4  16120  efginvrel2  16215  efgsval2  16221  efgsp1  16225  efgredlemg  16230  efgredleme  16231  efgcpbllemb  16243  odadd2  16322  odadd  16323  torsubg  16327  frgpnabllem1  16342  pgpfaclem1  16570  srgbinomlem3  16628  srgbinomlem4  16629  mplcoe2  17524  mplcoe2OLD  17525  coe1tmmul2  17704  coe1tmmul2fv  17706  coe1pwmulfv  17708  mbfi1fseqlem3  21170  dvn2bss  21379  tdeglem4  21504  tdeglem2  21505  mdegmullem  21524  coe1mul3  21546  ply1divex  21583  fta1glem1  21612  plyaddlem1  21656  plymullem1  21657  coeeulem  21667  coemulc  21697  dgrmulc  21713  dgrcolem2  21716  dgrco  21717  dvply1  21725  dvply2g  21726  plydivlem4  21737  fta1lem  21748  vieta1lem1  21751  aareccl  21767  aaliou3lem8  21786  taylply2  21808  dvtaylp  21810  dvntaylp  21811  dvntaylp0  21812  dvradcnv  21861  pserdvlem2  21868  advlogexp  22075  cxpeq  22170  atantayl3  22309  birthdaylem2  22321  harmonicbnd4  22379  wilthlem2  22382  basellem2  22394  basellem3  22395  basellem5  22397  0sgm  22457  sgmppw  22511  chtublem  22525  chpval2  22532  sumdchr2  22584  bcp1ctr  22593  lgslem1  22610  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgsquadlem1  22668  lgsquadlem2  22669  lgsquad2lem2  22673  m1lgs  22676  2sqlem8  22686  dchrisumlem1  22713  dchrisum0flblem2  22733  rpvmasum2  22736  mulogsumlem  22755  selberg2lem  22774  pntrsumo1  22789  pntrlog2bndlem4  22804  cusgrasizeinds  23335  vdgrfiun  23523  eupath2lem3  23551  divnumden2  26038  omndmul2  26126  omndmul3  26127  archiabllem1a  26159  oddpwdc  26689  eulerpartlemsv2  26693  eulerpartlems  26695  eulerpartlemsv3  26696  eulerpartlemv  26699  eulerpartlemb  26703  iwrdsplit  26722  ballotlemgun  26859  ccatmulgnn0dir  26892  ofcccat  26894  signsplypnf  26903  signslema  26915  signstfvn  26922  signstfveq0  26930  signsvtp  26936  signsvtn  26937  signlem0  26940  signshf  26941  dmgmaddnn0  26965  lgamucov  26976  subfacp1lem6  27025  subfacval2  27027  subfaclim  27028  cvmliftlem7  27132  relexpadd  27291  rtrclreclem.trans  27299  risefacval2  27464  fallfacval2  27465  fallfacval3  27466  risefallfac  27478  risefacp1  27483  fallfacp1  27484  fallfacfwd  27490  binomfallfaclem1  27493  binomfallfaclem2  27494  binomrisefac  27496  faclimlem1  27500  faclim2  27505  bpolycl  28146  bpolysum  28147  bpolydiflem  28148  fsumkthpow  28150  bpoly4  28153  rmxyneg  29214  rmxyadd  29215  rmyp1  29227  rmxm1  29228  rmym1  29229  rmxluc  29230  rmyluc  29231  rmxdbl  29233  rmydbl  29234  jm2.18  29290  jm2.19lem1  29291  jm2.19lem2  29292  jm2.22  29297  jm2.23  29298  jm2.25  29301  jm2.27c  29309  rmxdiophlem  29317  expdioph  29325  hbtlem4  29435  itgpowd  29543  stoweidlem24  29772  stirlinglem3  29824  stirlinglem7  29828  fz0addcom  30153  powm2modprm  30201  ccatw2s1p1  30222  wwlknext  30309  wwlknextbi  30310  wwlknredwwlkn  30311  clwlkisclwwlk  30404  nbhashuvtx1  30486  wwlkextproplem2  30514  frghash2spot  30609  usgreghash2spotv  30612  frgregordn0  30616  numclwwlk3  30655  altgsumbc  30700  altgsumbcALT  30701
  Copyright terms: Public domain W3C validator