MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cnd Unicode version

Theorem nn0cnd 10232
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0cnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nn0cnd
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 10231 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32recnd 9070 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   CCcc 8944   NN0cn0 10177
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11378  expaddz  11379  expmulz  11381  facdiv  11533  faclbnd4lem3  11541  bcp1n  11562  bcn2m1  11570  bcn2p1  11571  hashgadd  11606  hashdom  11608  hashun3  11613  hashssdif  11632  hashxplem  11651  hashmap  11653  hashbclem  11656  hashf1lem2  11660  hashf1  11661  ccatcl  11698  ccatval3  11702  ccatlid  11703  ccatrid  11704  ccatass  11705  swrdid  11727  swrdccat2  11730  ccatopth2  11732  spllen  11738  splfv2a  11740  cats1un  11745  revccat  11753  isercoll2  12417  iseraltlem3  12432  binomlem  12563  bcxmas  12570  incexclem  12571  incexc  12572  incexc2  12573  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  arisum  12594  arisum2  12595  geomulcvg  12608  mertens  12618  effsumlt  12667  dvdsexp  12860  divalgmod  12881  bitsinv1lem  12908  sadcp1  12922  sadcaddlem  12924  sadadd2lem  12926  sadadd3  12928  sadaddlem  12933  sadasslem  12937  smupp1  12947  smumullem  12959  mulgcd  13001  absmulgcd  13002  mulgcdr  13003  gcddiv  13004  mulgcddvds  13059  qredeu  13062  odzdvds  13136  coprimeprodsq  13138  pceulem  13174  pczpre  13176  pcqmul  13182  pcaddlem  13212  pcmpt  13216  pcmpt2  13217  sumhash  13220  mul4sq  13277  4sqlem12  13279  vdwapun  13297  vdwlem2  13305  vdwlem3  13306  vdwlem6  13309  vdwlem8  13311  vdwlem9  13312  ramub1lem2  13350  ramcl  13352  mulgnn0dir  14868  mulgnn0ass  14874  lagsubg2  14956  odmodnn0  15133  odmulg  15147  odmulgeq  15148  odinv  15152  sylow1lem1  15187  sylow2a  15208  sylow2blem3  15211  sylow3lem3  15218  sylow3lem4  15219  efginvrel2  15314  efgsval2  15320  efgsp1  15324  efgredlemg  15329  efgredleme  15330  efgcpbllemb  15342  odadd2  15419  odadd  15420  torsubg  15424  frgpnabllem1  15439  pgpfaclem1  15594  mplcoe2  16485  coe1tmmul2  16623  coe1tmmul2fv  16625  coe1pwmulfv  16627  mbfi1fseqlem3  19562  dvn2bss  19769  tdeglem4  19936  tdeglem2  19937  mdegmullem  19954  coe1mul3  19975  ply1divex  20012  fta1glem1  20041  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coemulc  20126  dgrmulc  20142  dgrcolem2  20145  dgrco  20146  dvply1  20154  dvply2g  20155  plydivlem4  20166  fta1lem  20177  vieta1lem1  20180  aareccl  20196  aaliou3lem8  20215  taylply2  20237  dvtaylp  20239  dvntaylp  20240  dvntaylp0  20241  dvradcnv  20290  pserdvlem2  20297  advlogexp  20499  cxpeq  20594  atantayl3  20732  birthdaylem2  20744  harmonicbnd4  20802  wilthlem2  20805  basellem2  20817  basellem3  20818  basellem5  20820  0sgm  20880  sgmppw  20934  chtublem  20948  chpval2  20955  sumdchr2  21007  bcp1ctr  21016  lgslem1  21033  lgseisenlem2  21087  lgseisenlem3  21088  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  lgsquad2lem2  21096  m1lgs  21099  2sqlem8  21109  dchrisumlem1  21136  dchrisum0flblem2  21156  rpvmasum2  21159  mulogsumlem  21178  selberg2lem  21197  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem4  21227  cusgrasizeinds  21438  vdgrfiun  21626  eupath2lem3  21654  divnumden2  24114  ballotlemgun  24735  dmgmaddnn0  24764  lgamucov  24775  subfacp1lem6  24824  subfacval2  24826  subfaclim  24827  cvmliftlem7  24931  relexpadd  25091  rtrclreclem.trans  25099  risefacval2  25279  fallfacval2  25280  risefallfac  25292  risefacp1  25297  fallfacp1  25298  fallfacfac  25302  fallfacfwd  25303  binomfallfaclem1  25306  binomfallfaclem2  25307  binomrisefac  25309  faclimlem1  25310  faclim2  25315  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  bpoly4  26009  rmxyneg  26873  rmxyadd  26874  rmyp1  26886  rmxm1  26887  rmym1  26888  rmxluc  26889  rmyluc  26890  rmxdbl  26892  rmydbl  26893  jm2.18  26949  jm2.19lem1  26950  jm2.19lem2  26951  jm2.22  26956  jm2.23  26957  jm2.25  26960  jm2.27c  26968  rmxdiophlem  26976  expdioph  26984  hbtlem4  27198  psgnunilem2  27286  stoweidlem24  27640  stirlinglem3  27692  stirlinglem7  27696  frghash2spot  28166  usgreghash2spotv  28169  frgregordn0  28173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957  df-n0 10178
  Copyright terms: Public domain W3C validator