MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cnd Structured version   Unicode version

Theorem nn0cnd 10850
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0cnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nn0cnd
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 10849 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32recnd 9618 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   CCcc 9486   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  11947  expaddzlem  12171  expaddz  12172  expmulz  12174  facdiv  12327  faclbnd4lem3  12335  bcp1n  12356  bcn2m1  12364  bcn2p1  12365  hashgadd  12407  hashdom  12409  hashun3  12414  hashssdif  12434  hashxplem  12451  hashmap  12453  hashbclem  12461  hashf1lem2  12465  hashf1  12466  ccatcl  12552  ccatval3  12556  ccatlid  12562  ccatrid  12563  ccatass  12564  wrdlenccats1lenm1  12584  ccats1val2  12588  ccatws1lenrev  12592  ccatw2s1p1  12597  swrdid  12609  addlenswrd  12619  swrdtrcfvl  12632  swrdccat2  12640  ccatopth2  12653  cats1un  12658  swrdccat3b  12678  spllen  12687  splfv2a  12689  revccat  12697  cshwlen  12727  cshwidxmod  12731  repswcshw  12737  2cshwid  12739  cshweqdif2  12744  isercoll2  13447  iseraltlem3  13462  binomlem  13597  bcxmas  13603  incexclem  13604  incexc  13605  incexc2  13606  climcndslem1  13617  climcndslem2  13618  arisum  13627  arisum2  13628  geomulcvg  13641  mertens  13651  effsumlt  13700  dvdsexp  13894  divalgmod  13916  bitsinv1lem  13943  sadcp1  13957  sadcaddlem  13959  sadadd2lem  13961  sadadd3  13963  sadaddlem  13968  sadasslem  13972  smupp1  13982  smumullem  13994  mulgcd  14036  absmulgcd  14037  mulgcdr  14038  gcddiv  14039  mulgcddvds  14097  qredeu  14100  odzdvds  14174  powm2modprm  14180  coprimeprodsq  14185  pceulem  14221  pczpre  14223  pcqmul  14229  pcaddlem  14259  pcmpt  14263  pcmpt2  14264  sumhash  14267  mul4sq  14324  4sqlem12  14326  vdwapun  14344  vdwlem2  14352  vdwlem3  14353  vdwlem6  14356  vdwlem8  14358  vdwlem9  14359  ramub1lem2  14397  ramcl  14399  mulgnn0dir  15962  mulgnn0ass  15968  lagsubg2  16054  psgnunilem2  16313  odmodnn0  16357  odmulg  16371  odmulgeq  16372  odinv  16376  sylow1lem1  16411  sylow2a  16432  sylow2blem3  16435  sylow3lem3  16442  sylow3lem4  16443  efginvrel2  16538  efgsval2  16544  efgsp1  16548  efgredlemg  16553  efgredleme  16554  efgcpbllemb  16566  odadd2  16645  odadd  16646  torsubg  16650  frgpnabllem1  16665  pgpfaclem1  16919  srgbinomlem3  16978  srgbinomlem4  16979  mplcoe5  17899  mplcoe2OLD  17901  coe1tmmul2  18085  coe1tmmul2fv  18087  coe1pwmulfv  18089  mbfi1fseqlem3  21856  dvn2bss  22065  tdeglem4  22190  tdeglem2  22191  mdegmullem  22210  coe1mul3  22232  ply1divex  22269  fta1glem1  22298  plyaddlem1  22342  plymullem1  22343  coeeulem  22353  coemulc  22383  dgrmulc  22399  dgrcolem2  22402  dgrco  22403  dvply1  22411  dvply2g  22412  plydivlem4  22423  fta1lem  22434  vieta1lem1  22437  aareccl  22453  aaliou3lem8  22472  taylply2  22494  dvtaylp  22496  dvntaylp  22497  dvntaylp0  22498  dvradcnv  22547  pserdvlem2  22554  advlogexp  22761  cxpeq  22856  atantayl3  22995  birthdaylem2  23007  harmonicbnd4  23065  wilthlem2  23068  basellem2  23080  basellem3  23081  basellem5  23083  0sgm  23143  sgmppw  23197  chtublem  23211  chpval2  23218  sumdchr2  23270  bcp1ctr  23279  lgslem1  23296  lgseisenlem2  23350  lgseisenlem3  23351  lgsquadlem1  23354  lgsquadlem2  23355  lgsquad2lem2  23359  m1lgs  23362  2sqlem8  23372  dchrisumlem1  23399  dchrisum0flblem2  23419  rpvmasum2  23422  mulogsumlem  23441  selberg2lem  23460  pntrsumo1  23475  pntrlog2bndlem4  23490  cusgrasizeinds  24149  wwlknext  24397  wwlknextbi  24398  wwlknredwwlkn  24399  wwlkextproplem2  24415  clwlkisclwwlk  24462  vdgrfiun  24575  nbhashuvtx1  24588  eupath2lem3  24652  frghash2spot  24737  usgreghash2spotv  24740  frgregordn0  24744  numclwwlk3  24783  divnumden2  27273  omndmul2  27361  omndmul3  27362  archiabllem1a  27394  oddpwdc  27930  eulerpartlemsv2  27934  eulerpartlems  27936  eulerpartlemsv3  27937  eulerpartlemv  27940  eulerpartlemb  27944  iwrdsplit  27963  ballotlemgun  28100  ccatmulgnn0dir  28133  ofcccat  28135  signsplypnf  28144  signslema  28156  signstfvn  28163  signstfveq0  28171  signsvtp  28177  signsvtn  28178  signlem0  28181  signshf  28182  dmgmaddnn0  28206  lgamucov  28217  subfacp1lem6  28266  subfacval2  28268  subfaclim  28269  cvmliftlem7  28373  relexpadd  28533  rtrclreclem.trans  28541  risefacval2  28706  fallfacval2  28707  fallfacval3  28708  risefallfac  28720  risefacp1  28725  fallfacp1  28726  fallfacfwd  28732  binomfallfaclem1  28735  binomfallfaclem2  28736  binomrisefac  28738  faclimlem1  28742  faclim2  28747  bpolycl  29388  bpolysum  29389  bpolydiflem  29390  fsumkthpow  29392  bpoly4  29395  rmxyneg  30458  rmxyadd  30459  rmyp1  30471  rmxm1  30472  rmym1  30473  rmxluc  30474  rmyluc  30475  rmxdbl  30477  rmydbl  30478  jm2.18  30534  jm2.19lem1  30535  jm2.19lem2  30536  jm2.22  30541  jm2.23  30542  jm2.25  30545  jm2.27c  30553  rmxdiophlem  30561  expdioph  30569  hbtlem4  30679  itgpowd  30787  lcmgcd  30813  lcmid  30815  nzprmdif  30824  hashssle  31074  stoweidlem24  31324  stirlinglem3  31376  stirlinglem7  31380  fourierdlem47  31454  fz0addcom  31802  altgsumbc  32005  altgsumbcALT  32006
  Copyright terms: Public domain W3C validator