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Theorem wlklniswwlkn2 26228
Description: A walk of length n as word corresponds to the sequence of vertices in a walk of length n in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlklniswwlkn2 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑃 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉

Proof of Theorem wlklniswwlkn2
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 26214 . . 3 (𝑃 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)))
2 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝑉 ∈ V)
32adantr 480 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
4 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
54adantr 480 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → 𝐸 ∈ V)
6 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
76adantl 481 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 iswwlkn 26212 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
93, 5, 7, 8syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → (𝑃 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))))
10 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉) → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
13 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉) → 1 ∈ ℂ)
14 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉) → 𝑁 ∈ ℂ)
1612, 13, 15subadd2d 10290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉) → (((#‘𝑃) − 1) = 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) = (#‘𝑃)))
17 eqcom 2617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) = (#‘𝑃) ↔ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))
1816, 17syl6rbb 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉) → ((#‘𝑃) = (𝑁 + 1) ↔ ((#‘𝑃) − 1) = 𝑁))
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → ((#‘𝑃) = (𝑁 + 1) ↔ ((#‘𝑃) − 1) = 𝑁))
2019biimpcd 238 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = (𝑁 + 1) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → ((#‘𝑃) − 1) = 𝑁))
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → ((#‘𝑃) − 1) = 𝑁))
2221impcom 445 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → ((#‘𝑃) − 1) = 𝑁)
23 wlkiswwlk2 26225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → ∃𝑓 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃))
2423com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃))
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃))
2726imp 444 . . . . . . . . 9 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ∃𝑓 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
28 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
29 wlklenvm1 26060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))
3028, 29jccir 560 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1)))
3130ex 449 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))))
3231eximdv 1833 . . . . . . . . 9 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → (∃𝑓 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))))
3327, 32mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1)))
34 eqeq2 2621 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1) ↔ (#‘𝑓) = 𝑁))
3534anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁)))
3635exbidv 1837 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1)) ↔ ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁)))
3733, 36syl5ib 233 . . . . . . 7 (((#‘𝑃) − 1) = 𝑁 → (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁)))
3837expd 451 . . . . . 6 (((#‘𝑃) − 1) = 𝑁 → ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁))))
3922, 38mpcom 37 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1))) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁)))
4039ex 449 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑃 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 + 1)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁))))
419, 40sylbid 229 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ Word 𝑉)) → (𝑃 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁))))
421, 41mpcom 37 . 2 (𝑃 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁)))
4342com12 32 1 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑃 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → ∃𝑓(𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (#‘𝑓) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146   USGrph cusg 25859   Walks cwalk 26026   WWalks cwwlk 26205   WWalksN cwwlkn 26206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208
This theorem is referenced by:  wlklniswwlkn  26229
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