Theorem signsvtp 29986

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐸)
signsvt.b	⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvtp	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
2	1	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3		signsvf.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4		signsvf.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5		signsvf.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		signsv.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7		signsv.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
8		signsv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
9		signsv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10	6, 7, 8, 9	signsvfn 29985	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
11	3, 4, 5, 10	syl21anc 1317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
12	2, 11	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14		0red 9920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
15	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
16	15	eldifad 3552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
17	6, 7, 8, 9	signstf 29969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ)
18		wrdf 13165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐸):(0..^(#‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇‘𝐸):(0..^(#‘(𝑇‘𝐸)))⟶ℝ)
20		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
21	3, 20	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23		lennncl 13180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (#‘𝐸) ∈ ℕ)
24		fzo0end 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐸) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
26	6, 7, 8, 9	signstlen 29970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → (#‘(𝑇‘𝐸)) = (#‘𝐸))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (#‘(𝑇‘𝐸)) = (#‘𝐸))
28	27	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(#‘(𝑇‘𝐸))) = (0..^(#‘𝐸)))
29	25, 28	eleqtrrd 2691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑇‘𝐸))))
30	19, 29	ffvelrnd 6268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
31	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
32	30, 31	remulcld 9949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34		signsvt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
35		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐸)
36	35	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((#‘𝐸) − 1)
37	36	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1))
38	34, 37	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1))
39	38, 30	syl5eqel 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	39	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	31	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 9940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
43	33, 42	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
44	38	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
45	43, 44	syl6breq 4624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
46	14, 32, 45	ltnsymd 10065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
47	46	iffalsed 4047	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
48	47	oveq2d 6565	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + if((((𝑇‘𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉‘𝐸) + 0))
49	6, 7, 8, 9	signsvvf 29982	. . . . . 6 ⊢ 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
51	50, 16	ffvelrnd 6268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℕ0)
52	51	nn0cnd 11230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐸) ∈ ℂ)
53	52	addid1d 10115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉‘𝐸) + 0) = (𝑉‘𝐸))
54	13, 48, 53	3eqtrd 2648	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   Σ_g cgsu 15924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-sgn 13675  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cntz 17573

This theorem is referenced by:  signsvfpn  29988