Theorem tdeglem2 23625

Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tdeglem2	⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℎ‘∅)) = (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Proof of Theorem tdeglem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7765	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ℎ:{∅}⟶ℕ0)
2	1	feqmptd 6159	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ℎ = (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥)))
3	2	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))))
4		cnring 19587	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringmnd 18379	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ℂfld ∈ Mnd)
7		0ex 4718	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → ∅ ∈ V)
9	7	snid 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
10		ffvelrn 6265	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ:{∅}⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℕ0)
11	1, 9, 10	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℂ)
13		cnfldbas 19571	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘∅))
15	13, 14	gsumsn 18177	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (ℎ‘∅) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))) = (ℎ‘∅))
16	6, 8, 12, 15	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))) = (ℎ‘∅))
17	3, 16	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 {∅}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℎ‘∅))
18		df1o2 7459	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
19	18	oveq2i 6560	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = (ℕ0 ↑𝑚 {∅})
20	17, 19	eleq2s 2706	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℎ‘∅))
21	20	eqcomd 2616	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (ℎ‘∅) = (ℂfld Σg ℎ))
22	21	mpteq2ia 4668	1 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℎ‘∅)) = (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  ℕ₀cn0 11169   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Ringcrg 18370  ℂ_fldccnfld 19567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-cring 18373  df-cnfld 19568

This theorem is referenced by:  deg1ldg  23656  deg1leb  23659  deg1val  23660