Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1pwmulfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1pwmulfv 19471
 Description: Function value of a right-multiplication by a variable power in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1pwmul.z 0 = (0g𝑅)
coe1pwmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1pwmul.x 𝑋 = (var1𝑅)
coe1pwmul.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e = (.g𝑁)
coe1pwmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t · = (.r𝑃)
coe1pwmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a (𝜑𝐴𝐵)
coe1pwmul.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
coe1pwmulfv.y (𝜑𝑌 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1pwmulfv (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1𝐴)‘𝑌))

Proof of Theorem coe1pwmulfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1pwmul.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
2 coe1pwmul.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 coe1pwmul.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
4 coe1pwmul.n . . . 4 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
5 coe1pwmul.e . . . 4 = (.g𝑁)
6 coe1pwmul.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 coe1pwmul.t . . . 4 · = (.r𝑃)
8 coe1pwmul.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 coe1pwmul.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
10 coe1pwmul.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1pwmul 19470 . . 3 (𝜑 → (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
1211fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
13 coe1pwmulfv.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℕ0)
1410, 13nn0addcld 11232 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
15 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷𝑥𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
16 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝑥𝐷) = ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷))
1716fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)) = ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
1815, 17ifbieq1d 4059 . . . . 5 (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
19 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))
20 fvex 6113 . . . . . 6 ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) ∈ V
21 fvex 6113 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
221, 21eqeltri 2684 . . . . . 6 0 ∈ V
2320, 22ifex 4106 . . . . 5 if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) ∈ V
2418, 19, 23fvmpt 6191 . . . 4 ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
2514, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
2610nn0red 11229 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
27 nn0addge1 11216 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
2826, 13, 27syl2anc 691 . . . 4 (𝜑𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
2928iftrued 4044 . . 3 (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) = ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
3010nn0cnd 11230 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3113nn0cnd 11230 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3230, 31pncan2d 10273 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
3332fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1𝐴)‘𝑌))
3425, 29, 333eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1𝐴)‘𝑌))
3512, 34eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1𝐴)‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374 This theorem is referenced by:  hbtlem4  36715
 Copyright terms: Public domain W3C validator