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Theorem fmtnofac2lem 40018
 Description: Lemma for fmtnofac2 40019 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2lem ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmtnofac2lem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11573 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3 eluzelz 11573 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
43adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
5 eluzge2nn0 11603 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fmtnonn 39981 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 11357 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
9 muldvds2 14845 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
102, 4, 8, 9syl2an3an 1378 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
11 muldvds1 14844 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
122, 4, 8, 11syl2an3an 1378 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
13 pm2.27 41 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413ad2ant2lr 780 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15 pm2.27 41 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1615ad2ant2l 778 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))))
1817oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
1918eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2019cbvrexv 3148 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
21 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))
2221oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
2322eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423cbvrexv 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
25 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
27 2nn0 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
295, 28nn0addcld 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
3028, 29nn0expcld 12893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
3226, 31nn0mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℕ0)
33 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3532, 34nn0mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℕ0)
36 nn0addcl 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3835, 37nn0addcld 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) ∈ ℕ0)
39 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
4039oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4140eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛))) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4438, 42, 43rspcedvd 3289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
45 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4830nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
5133nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5352, 49mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
5450, 53jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
56 muladd11r 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5825nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
6059, 52, 493jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
62 adddir 9910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
6463eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
6564oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
6650adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
6752adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
6849adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
7069eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
7170oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))))
7250, 52mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ)
7336nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
7572, 74, 493jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
77 adddir 9910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
7965, 71, 783eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
8079oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8157, 80eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8281eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8382rexbidva 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8444, 83mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8584adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
86 oveq12 6558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8786ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8887eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8988rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9085, 89syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9190expd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9291anassrs 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9392rexlimdva 3013 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9424, 93syl5bi 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9594com23 84 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9695rexlimdva 3013 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9720, 96syl5bi 231 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9897impd 446 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9998adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10014, 16, 99syl2and 499 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
101100exp32 629 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10212, 101syld 46 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10310, 102mpdd 42 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
104103expimpd 627 . 2 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
105104com23 84 1 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  FermatNocfmtno 39977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822  df-fmtno 39978 This theorem is referenced by:  fmtnofac2  40019
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