Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtn 29987
 Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (#‘𝐸)
signsvt.b 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtn ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtn
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
21fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3 signsvf.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4 signsvf.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5 signsvf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . . 7 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . . 7 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
8 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
9 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 29985 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 1317 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 signsvt.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
15 signsvf.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (#‘𝐸)
1615oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((#‘𝐸) − 1)
1716fveq2i 6106 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1))
1814, 17eqtri 2632 . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1))
1918oveq1i 6559 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
203adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2120eldifad 3552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
226, 7, 8, 9signstf 29969 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸) ∈ Word ℝ)
23 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸):(0..^(#‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑇𝐸):(0..^(#‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
25 eldifsn 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
263, 25sylib 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
28 lennncl 13180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (#‘𝐸) ∈ ℕ)
29 fzo0end 12426 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐸) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
316, 7, 8, 9signstlen 29970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ Word ℝ → (#‘(𝑇𝐸)) = (#‘𝐸))
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (#‘(𝑇𝐸)) = (#‘𝐸))
3332oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0..^(#‘(𝑇𝐸))) = (0..^(#‘𝐸)))
3430, 33eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑇𝐸))))
3524, 34ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
3618, 35syl5eqel 2692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
385adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3938recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4037, 39mulcomd 9940 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
41 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
4240, 41eqbrtrd 4605 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
4319, 42syl5eqbrr 4619 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
4443iftrued 4044 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 1)
4544oveq2d 6565 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐸) + 1))
4613, 45eqtr2d 2645 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐸) + 1) = (𝑉𝐹))
476, 7, 8, 9signsvvf 29982 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
4847a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
491adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
5038s1cld 13236 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ)
51 ccatcl 13212 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
5221, 50, 51syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
5349, 52eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
5448, 53ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℕ0)
5554nn0cnd 11230 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℂ)
5648, 21ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐸) ∈ ℕ0)
5756nn0cnd 11230 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐸) ∈ ℂ)
58 1cnd 9935 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 1 ∈ ℂ)
5955, 57, 58subaddd 10289 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1 ↔ ((𝑉𝐸) + 1) = (𝑉𝐹)))
6046, 59mpbird 246 1 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-sgn 13675  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cntz 17573 This theorem is referenced by:  signsvfnn  29989
 Copyright terms: Public domain W3C validator