Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ind-dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ind-dvds 26710
 Description: Example of a proof by induction (divisibility result). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) (Revised by BJ, 24-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ex-ind-dvds (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))

Proof of Theorem ex-ind-dvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = 0 → (4↑𝑘) = (4↑0))
21oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = 0 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑0) + 2))
32breq2d 4595 . 2 (𝑘 = 0 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑0) + 2)))
4 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (4↑𝑘) = (4↑𝑛))
54oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑛) + 2))
65breq2d 4595 . 2 (𝑘 = 𝑛 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)))
7 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑘) = (4↑(𝑛 + 1)))
87oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
98breq2d 4595 . 2 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
10 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (4↑𝑘) = (4↑𝑁))
1110oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑁) + 2))
1211breq2d 4595 . 2 (𝑘 = 𝑁 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2)))
13 3z 11287 . . . 4 3 ∈ ℤ
14 iddvds 14833 . . . 4 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 3 ∥ 3
16 4nn0 11188 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1716numexp0 15618 . . . . 5 (4↑0) = 1
1817oveq1i 6559 . . . 4 ((4↑0) + 2) = (1 + 2)
19 1p2e3 11029 . . . 4 (1 + 2) = 3
2018, 19eqtri 2632 . . 3 ((4↑0) + 2) = 3
2115, 20breqtrri 4610 . 2 3 ∥ ((4↑0) + 2)
2213a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∈ ℤ)
2316a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2523, 24nn0expcld 12893 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
2625nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
28 2z 11286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 2 ∈ ℤ)
3027, 29zaddcld 11362 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
31 4z 11288 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℤ)
33 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2))
3422, 30, 32, 33dvdsmultr1d 14858 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (((4↑𝑛) + 2) · 4))
35 dvdsmul1 14841 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
3613, 28, 35mp2an 704 . . . . . 6 3 ∥ (3 · 2)
3736a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (3 · 2))
3816a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
39 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4038, 39nn0expcld 12893 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
4140nn0zd 11356 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4241, 29zaddcld 11362 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
4342, 32zmulcld 11364 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (((4↑𝑛) + 2) · 4) ∈ ℤ)
4422, 29zmulcld 11364 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (3 · 2) ∈ ℤ)
4522, 34, 37, 43, 44dvds2subd 14855 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
4625nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
47 2cnd 10970 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
48 4cn 10975 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
5046, 47, 49adddird 9944 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((4↑𝑛) + 2) · 4) = (((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)))
5150oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
52 3cn 10972 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
53 2cn 10968 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
5452, 53mulcomi 9925 . . . . . . . 8 (3 · 2) = (2 · 3)
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · 2) = (2 · 3))
5655oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)))
5749, 24expp1d 12871 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
58 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
59 3p1e4 11030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
6052, 58, 59addcomli 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 3) = 4
6160eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (1 + 3)
6261oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = ((1 + 3) − 3)
6358, 52pncan3oi 10176 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 3) − 3) = 1
6462, 63eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (4 − 3) = 1
6564oveq2i 6560 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 − 3)) = (2 · 1)
6653, 48, 52subdii 10358 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 − 3)) = ((2 · 4) − (2 · 3))
67 2t1e2 11053 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
6865, 66, 673eqtr3ri 2641 . . . . . . . . 9 2 = ((2 · 4) − (2 · 3))
6968a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 = ((2 · 4) − (2 · 3)))
7057, 69oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
7146, 49mulcld 9939 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑𝑛) · 4) ∈ ℂ)
7247, 49mulcld 9939 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 4) ∈ ℂ)
7352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
7447, 73mulcld 9939 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 3) ∈ ℂ)
7571, 72, 74addsubassd 10291 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
7670, 75eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
7751, 56, 763eqtr4rd 2655 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
7877adantr 480 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
7945, 78breqtrrd 4611 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
8079ex 449 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 ∥ ((4↑𝑛) + 2) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
813, 6, 9, 12, 21, 80nn0ind 11348 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator