Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ind-dvds Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ex-ind-dvds 25899
 Description: Example of a proof by induction (divisibility result). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) (Revised by BJ, 24-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ex-ind-dvds

Proof of Theorem ex-ind-dvds
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6298 . . . 4
21oveq1d 6305 . . 3
32breq2d 4414 . 2
4 oveq2 6298 . . . 4
54oveq1d 6305 . . 3
65breq2d 4414 . 2
7 oveq2 6298 . . . 4
87oveq1d 6305 . . 3
98breq2d 4414 . 2
10 oveq2 6298 . . . 4
1110oveq1d 6305 . . 3
1211breq2d 4414 . 2
13 3z 10970 . . . 4
14 iddvds 14316 . . . 4
1513, 14ax-mp 5 . . 3
16 4nn0 10888 . . . . . 6
1716numexp0 15048 . . . . 5
1817oveq1i 6300 . . . 4
19 1p2e3 10734 . . . 4
2018, 19eqtri 2473 . . 3
2115, 20breqtrri 4428 . 2
2213a1i 11 . . . . 5
2316a1i 11 . . . . . . . . . 10
24 id 22 . . . . . . . . . 10
2523, 24nn0expcld 12438 . . . . . . . . 9
2625nn0zd 11038 . . . . . . . 8
2726adantr 467 . . . . . . 7
28 2z 10969 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
3027, 29zaddcld 11044 . . . . . 6
31 4z 10971 . . . . . . 7
3231a1i 11 . . . . . 6
33 simpr 463 . . . . . 6
3422, 30, 32, 33dvdsmultr1d 14339 . . . . 5
35 dvdsmul1 14324 . . . . . . 7
3613, 28, 35mp2an 678 . . . . . 6
3736a1i 11 . . . . 5
3816a1i 11 . . . . . . . . 9
39 simpl 459 . . . . . . . . 9
4038, 39nn0expcld 12438 . . . . . . . 8
4140nn0zd 11038 . . . . . . 7
4241, 29zaddcld 11044 . . . . . 6
4342, 32zmulcld 11046 . . . . 5
4422, 29zmulcld 11046 . . . . 5
4522, 34, 37, 43, 44dvds2subd 14336 . . . 4
4625nn0cnd 10927 . . . . . . . 8
47 2cnd 10682 . . . . . . . 8
48 4cn 10687 . . . . . . . . 9
4948a1i 11 . . . . . . . 8
5046, 47, 49adddird 9668 . . . . . . 7
5150oveq1d 6305 . . . . . 6
52 3cn 10684 . . . . . . . . 9
53 2cn 10680 . . . . . . . . 9
5452, 53mulcomi 9649 . . . . . . . 8
5554a1i 11 . . . . . . 7
5655oveq2d 6306 . . . . . 6
5749, 24expp1d 12417 . . . . . . . 8
58 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 3p1e4 10735 . . . . . . . . . . . . . . 15
6052, 58, 59addcomli 9825 . . . . . . . . . . . . . 14
6160eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . 13
6261oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . 12
6358, 52pncan3oi 9891 . . . . . . . . . . . 12
6462, 63eqtri 2473 . . . . . . . . . . 11
6564oveq2i 6301 . . . . . . . . . 10
6653, 48, 52subdii 10067 . . . . . . . . . 10
67 2t1e2 10758 . . . . . . . . . 10
6865, 66, 673eqtr3ri 2482 . . . . . . . . 9
6968a1i 11 . . . . . . . 8
7057, 69oveq12d 6308 . . . . . . 7
7146, 49mulcld 9663 . . . . . . . 8
7247, 49mulcld 9663 . . . . . . . 8
7352a1i 11 . . . . . . . . 9
7447, 73mulcld 9663 . . . . . . . 8
7571, 72, 74addsubassd 10006 . . . . . . 7
7670, 75eqtr4d 2488 . . . . . 6
7751, 56, 763eqtr4rd 2496 . . . . 5
7877adantr 467 . . . 4
7945, 78breqtrrd 4429 . . 3
8079ex 436 . 2
813, 6, 9, 12, 21, 80nn0ind 11030 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290  cc 9537  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cmin 9860  c2 10659  c3 10660  c4 10661  cn0 10869  cz 10937  cexp 12272   cdvds 14305 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-exp 12273  df-dvds 14306 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator