Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsv3 29750
 Description: Lemma for eulerpart 29771. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))((𝐴𝑘) · 𝑘))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . 3 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
31, 2eulerpartlemsv1 29745 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
4 fzssuz 12253 . . . . 5 (1...(𝑆𝐴)) ⊆ (ℤ‘1)
5 nnuz 11599 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5sseqtr4i 3601 . . . 4 (1...(𝑆𝐴)) ⊆ ℕ
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (1...(𝑆𝐴)) ⊆ ℕ)
81, 2eulerpartlemelr 29746 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
98simpld 474 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
117sselda 3568 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1210, 11ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11230 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1411nncnd 10913 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → 𝑘 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 9939 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
161, 2eulerpartlems 29749 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
1716ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑡) = 0)
18 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑡 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑡))
1918eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ (𝐴𝑡) = 0))
2019cbvralv 3147 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑘) = 0 ↔ ∀𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑡) = 0)
2117, 20sylibr 223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑘) = 0)
221, 2eulerpartlemsf 29748 . . . . . . . . . 10 𝑆:((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
2322ffvelrni 6266 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
24 nndiffz1 28936 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) = (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) = (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1)))
2625raleqdv 3121 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))(𝐴𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑘) = 0))
2721, 26mpbird 246 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))(𝐴𝑘) = 0)
2827r19.21bi 2916 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑘) = 0)
2928oveq1d 6564 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
30 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))))
3130eldifad 3552 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
3231nncnd 10913 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3332mul02d 10113 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (0 · 𝑘) = 0)
3429, 33eqtrd 2644 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 0)
355eqimssi 3622 . . . 4 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
3635a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ‘1))
377, 15, 34, 36sumss 14302 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
383, 37eqtr4d 2647 1 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))((𝐴𝑘) · 𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  29751
 Copyright terms: Public domain W3C validator