Theorem ccatmulgnn0dir 29945

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 17394 (although applying mulgnn0dir 17394 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b	⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c	⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
ccatmulgnn0dir.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
2	1	fveq2i 6106	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘𝐴) = (#‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3		fzofi 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
4		snfi 7923	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
5		hashxp 13081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾})))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾}))
7	2, 6	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐴) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾}))
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		hashfzo0 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
12		hashsng 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → (#‘{𝐾}) = 1)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝐾}) = 1)
14	10, 13	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
15	7, 14	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = (𝑀 · 1))
16	8	nn0cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	mulid1d 9936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
18	15, 17	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝑀)
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
20	19	fveq2i 6106	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘𝐵) = (#‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21		fzofi 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
22		hashxp 13081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾})))
23	21, 4, 22	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾}))
24	20, 23	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐵) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾}))
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26		hashfzo0 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
28	27, 13	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
29	24, 28	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑁 · 1))
30	25	nn0cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	mulid1d 9936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
32	29, 31	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = 𝑁)
33	18, 32	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
34	33	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝜑)
36		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
37	18	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0..^𝑀))
38	35, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (0..^(#‘𝐴)) = (0..^𝑀))
39	36, 38	eleqtrd 2690	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40		fconstg 6005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
43	42	feq1d 5943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
44	41, 43	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45		fvconst 6336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
46	44, 45	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
47	35, 39, 46	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
48		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝜑)
49		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
50		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
51	18, 8	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 11356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
54	32, 25	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	48, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 11356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzocatel 12399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
59	32	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0..^𝑁))
60	48, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (0..^(#‘𝐵)) = (0..^𝑁))
61	58, 60	eleqtrd 2690	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62		fconstg 6005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
63	11, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
65	64	feq1d 5943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
66	63, 65	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67		fvconst 6336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
68	66, 67	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
69	48, 61, 68	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
70	47, 69	ifeqda 4071	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴)))) = 𝐾)
71	34, 70	mpteq12dva 4662	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ∈ V
73		snex 4835	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
74	72, 73	xpex 6860	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
75	1, 74	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
76		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
77	76, 73	xpex 6860	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
78	19, 77	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
79		ccatfval 13211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))))))
80	75, 78, 79	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴)))))
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82		fconstmpt 5085	. . 3 ⊢ ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
83	81, 82	eqtri 2632	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2669	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979   ++ cconcat 13148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-concat 13156

This theorem is referenced by:  ofcccat  29946