Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odinv 17801
 Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odinv.1 𝑂 = (od‘𝐺)
odinv.2 𝐼 = (invg𝐺)
odinv.3 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) = (𝑂𝐴))

Proof of Theorem odinv
StepHypRef Expression
1 neg1z 11290 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 odinv.3 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odinv.1 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
4 eqid 2610 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
52, 3, 4odmulg 17796 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))))
61, 5mp3an3 1405 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))))
72, 3odcl 17778 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
98nn0zd 11356 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
10 gcdcom 15073 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) gcd -1))
111, 9, 10sylancr 694 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) gcd -1))
12 1z 11284 . . . . 5 1 ∈ ℤ
13 gcdneg 15081 . . . . 5 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) gcd -1) = ((𝑂𝐴) gcd 1))
149, 12, 13sylancl 693 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd -1) = ((𝑂𝐴) gcd 1))
15 gcd1 15087 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → ((𝑂𝐴) gcd 1) = 1)
169, 15syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd 1) = 1)
1711, 14, 163eqtrd 2648 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = 1)
18 odinv.2 . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
192, 4, 18mulgm1 17385 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1(.g𝐺)𝐴) = (𝐼𝐴))
2019fveq2d 6107 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂‘(𝐼𝐴)))
2117, 20oveq12d 6567 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))) = (1 · (𝑂‘(𝐼𝐴))))
222, 18grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
232, 3odcl 17778 . . . . 5 ((𝐼𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 11230 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℂ)
2625mulid2d 9937 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (1 · (𝑂‘(𝐼𝐴))) = (𝑂‘(𝐼𝐴)))
276, 21, 263eqtrrd 2649 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) = (𝑂𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   · cmul 9820  -cneg 10146  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254   gcd cgcd 15054  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  .gcmg 17363  odcod 17767 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-od 17771 This theorem is referenced by:  torsubg  18080  oddvdssubg  18081
 Copyright terms: Public domain W3C validator