Proof of Theorem 2lgslem3b
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 /
4))) |
2 | | oveq1 6556 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 3) −
1)) |
3 | 2 | oveq1d 6564 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8
· 𝐾) + 3) − 1)
/ 2)) |
4 | | oveq1 6556 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 3) / 4)) |
5 | 4 | fveq2d 6107 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) →
(⌊‘(𝑃 / 4)) =
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) |
6 | 3, 5 | oveq12d 6567 |
. . 3
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 / 4))) =
(((((8 · 𝐾) + 3)
− 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)))) |
7 | 1, 6 | syl5eq 2656 |
. 2
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) −
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)))) |
8 | | 8nn0 11192 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
9 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℕ0) |
10 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℕ0) |
11 | 9, 10 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
12 | 11 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℂ) |
13 | | 3cn 10972 |
. . . . . . . . 9
⊢ 3 ∈
ℂ |
14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 3 ∈ ℂ) |
15 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
16 | 12, 14, 15 | addsubassd 10291 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
3) − 1) = ((8 · 𝐾) + (3 − 1))) |
17 | | 4t2e8 11058 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (4
· 2) = 8 |
18 | 17 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 = (4
· 2) |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 = (4 · 2)) |
20 | 19 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 2) · 𝐾)) |
21 | | 4cn 10975 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℂ |
22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℂ) |
23 | | 2cn 10968 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℂ |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
25 | | nn0cn 11179 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℂ) |
26 | 22, 24, 25 | mul32d 10125 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2)) |
27 | 20, 26 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 𝐾) ·
2)) |
28 | | 3m1e2 11014 |
. . . . . . . . 9
⊢ (3
− 1) = 2 |
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (3 − 1) = 2) |
30 | 27, 29 | oveq12d 6567 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) + (3
− 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2)) |
31 | 16, 30 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
3) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2)) |
32 | 31 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
3) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2)) |
33 | | 4nn0 11188 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ0) |
35 | 34, 10 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
36 | 35 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℂ) |
37 | 36, 24 | mulcld 9939 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
· 2) ∈ ℂ) |
38 | | 2rp 11713 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℝ+) |
40 | 39 | rpcnne0d 11757 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
41 | | divdir 10589 |
. . . . . 6
⊢ ((((4
· 𝐾) · 2)
∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 /
2))) |
42 | 37, 24, 40, 41 | syl3anc 1318 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 /
2))) |
43 | | 2ne0 10990 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ≠
0 |
44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 0) |
45 | 36, 24, 44 | divcan4d 10686 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
· 2) / 2) = (4 · 𝐾)) |
46 | | 2div2e1 11027 |
. . . . . . 7
⊢ (2 / 2) =
1 |
47 | 46 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 / 2) = 1) |
48 | 45, 47 | oveq12d 6567 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) / 2) + (2 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 1)) |
49 | 32, 42, 48 | 3eqtrd 2648 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
3) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 1)) |
50 | | 4ne0 10994 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ≠
0 |
51 | 21, 50 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℂ ∧ 4 ≠ 0) |
52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) |
53 | | divdir 10589 |
. . . . . . . 8
⊢ (((8
· 𝐾) ∈ ℂ
∧ 3 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8
· 𝐾) + 3) / 4) =
(((8 · 𝐾) / 4) + (3
/ 4))) |
54 | 12, 14, 52, 53 | syl3anc 1318 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
3) / 4) = (((8 · 𝐾)
/ 4) + (3 / 4))) |
55 | | 8cn 10983 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℂ |
56 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℂ) |
57 | | div23 10583 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((8
∈ ℂ ∧ 𝐾
∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 ·
𝐾) / 4) = ((8 / 4) ·
𝐾)) |
58 | 56, 25, 52, 57 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= ((8 / 4) · 𝐾)) |
59 | 18 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (8 / 4) =
((4 · 2) / 4) |
60 | 23, 21, 50 | divcan3i 10650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((4
· 2) / 4) = 2 |
61 | 59, 60 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (8 / 4) =
2 |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 / 4) = 2) |
63 | 62 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 / 4) · 𝐾)
= (2 · 𝐾)) |
64 | 58, 63 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= (2 · 𝐾)) |
65 | 64 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) /
4) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4))) |
66 | 54, 65 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
3) / 4) = ((2 · 𝐾) +
(3 / 4))) |
67 | 66 | fveq2d 6107 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (⌊‘((2 ·
𝐾) + (3 /
4)))) |
68 | | 3lt4 11074 |
. . . . . 6
⊢ 3 <
4 |
69 | | 2nn0 11186 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℕ0) |
71 | 70, 10 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
72 | 71 | nn0zd 11356 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℤ) |
73 | | 3nn0 11187 |
. . . . . . . 8
⊢ 3 ∈
ℕ0 |
74 | 73 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 3 ∈ ℕ0) |
75 | | 4nn 11064 |
. . . . . . . 8
⊢ 4 ∈
ℕ |
76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ) |
77 | | adddivflid 12481 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝐾) ∈ ℤ
∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4
↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾))) |
78 | 72, 74, 76, 77 | syl3anc 1318 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾))) |
79 | 68, 78 | mpbii 222 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)) |
80 | 67, 79 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (2 · 𝐾)) |
81 | 49, 80 | oveq12d 6567 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾))) |
82 | 71 | nn0cnd 11230 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
83 | 36, 15, 82 | addsubd 10292 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾) +
1) − (2 · 𝐾))
= (((4 · 𝐾) −
(2 · 𝐾)) +
1)) |
84 | | 2t2e4 11054 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 2) = 4 |
85 | 84 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 = (2
· 2) |
86 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 = (2 · 2)) |
87 | 86 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = ((2
· 2) · 𝐾)) |
88 | 24, 24, 25 | mulassd 9942 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾))) |
89 | 87, 88 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = (2
· (2 · 𝐾))) |
90 | 89 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾))) |
91 | | 2txmxeqx 11026 |
. . . . . 6
⊢ ((2
· 𝐾) ∈ ℂ
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
92 | 82, 91 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
93 | 90, 92 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
(2 · 𝐾)) |
94 | 93 | oveq1d 6564 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) +
1) = ((2 · 𝐾) +
1)) |
95 | 81, 83, 94 | 3eqtrd 2648 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
96 | 7, 95 | sylan9eqr 2666 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝑃 = ((8 ·
𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1)) |