Theorem 6lcm4e12 15167

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	⊢ (6 lcm 4) = ;12

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 10979	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		4cn 10975	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 9924	. . 3 ⊢ (6 · 4) ∈ ℂ
4		6nn0 11190	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 11279	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6		4z 11288	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
8		lcmcl 15152	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 11230	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 4) ∈ ℂ
11		gcdcl 15066	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11230	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
13	7, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℂ
14		4ne0 10994	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
15	14	neii 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 4 = 0
16	15	intnan 951	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17	7, 16	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0))
18		gcdn0cl 15062	. . . . . 6 ⊢ (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 4) ∈ ℕ
20	19	nnne0i 10932	. . . 4 ⊢ (6 gcd 4) ≠ 0
21	13, 20	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
22		6nn 11066	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
23		4nn 11064	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
24	22, 23	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
25		lcmgcdnn 15162	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
27	26	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
28		divmul3 10569	. . . . 5 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
29	27, 28	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
30	29	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
31	3, 10, 21, 30	mp3an 1416	. 2 ⊢ (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
32		6gcd4e2 15093	. . 3 ⊢ (6 gcd 4) = 2
33	32	oveq2i 6560	. 2 ⊢ ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
34		2cn 10968	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		2ne0 10990	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
36	1, 2, 34, 35	divassi 10660	. . 3 ⊢ ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
37		4d2e2 11061	. . . 4 ⊢ (4 / 2) = 2
38	37	oveq2i 6560	. . 3 ⊢ (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
39		6t2e12 11517	. . 3 ⊢ (6 · 2) = ;12
40	36, 38, 39	3eqtri 2636	. 2 ⊢ ((6 · 4) / 2) = ;12
41	31, 33, 40	3eqtri 2636	1 ⊢ (6 lcm 4) = ;12

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  4c4 10949  6c6 10951  ℤcz 11254  ;cdc 11369   gcd cgcd 15054   lcm clcm 15139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-lcm 15141

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15198