MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Structured version   Unicode version

Theorem nn0zd 10737
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0zd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10659 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
2 nn0zd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3349 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   NN0cn0 10571   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639
This theorem is referenced by:  nnzd  10738  elfzelfzadd  11500  zmodfz  11721  expnegz  11890  expaddzlem  11899  expaddz  11900  expmulz  11902  faclbnd  12058  bcpasc  12089  hashge2el2dif  12176  hashtpg  12178  hashf1  12202  fz1isolem  12206  ccatcl  12266  ccatval1  12268  ccatval3  12270  ccatsymb  12273  ccatass  12278  lswccatn0lsw  12279  ccats1val2  12299  swrdtrcfv0  12330  swrdtrcfvl  12336  swrdccat1  12343  swrdccat2  12344  swrdccatin2  12370  swrdccatin12  12374  splfv2a  12390  splval2  12391  revcl  12393  revccat  12398  revrev  12399  cshwmodn  12424  cshwsublen  12425  cshwn  12426  cshwidxmod  12432  2cshwid  12440  3cshw  12444  cshweqdif2  12445  revco  12454  ccatco  12455  nnabscl  12805  absrdbnd  12821  iseraltlem3  13153  fsum0diaglem  13235  binomlem  13284  binom1p  13286  incexc2  13293  climcndslem1  13304  geoser  13321  geolim2  13323  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  mertens  13338  ruclem10  13513  divalglem9  13597  divalgmod  13602  bitsfzolem  13622  bitsfzo  13623  bitsmod  13624  bitsfi  13625  bitsinv1lem  13629  sadcaddlem  13645  sadadd3  13649  sadaddlem  13654  sadadd  13655  sadasslem  13658  sadass  13659  sadeq  13660  bitsres  13661  bitsuz  13662  bitsshft  13663  smuval2  13670  smupvallem  13671  smupval  13676  smueqlem  13678  smumullem  13680  smumul  13681  gcdcllem1  13687  gcd0id  13699  gcdneg  13702  gcdabs2  13711  modgcd  13712  bezoutlem4  13717  dvdsgcdb  13720  gcdass  13721  mulgcd  13722  absmulgcd  13723  gcdeq  13728  dvdsmulgcd  13730  nn0seqcvgd  13737  algfx  13747  eucalginv  13751  eucalg  13754  sqnprm  13776  mulgcddvds  13782  rpmulgcd2  13783  qredeu  13785  divnumden  13818  coprimeprodsq  13868  iserodd  13894  pclem  13897  pcpre1  13901  pcpremul  13902  pcqcl  13915  pcdvdsb  13927  pcidlem  13930  pc2dvds  13937  pcprmpw2  13940  pcadd  13943  pcfac  13953  pcbc  13954  pockthlem  13958  prmreclem2  13970  prmreclem3  13971  mul4sqlem  14006  4sqlem11  14008  4sqlem12  14009  4sqlem14  14011  vdwapun  14027  lagsubg  15734  psgnuni  15996  psgnran  16012  odmodnn0  16034  mndodconglem  16035  mndodcong  16036  odmulg2  16047  odmulg  16048  odmulgeq  16049  odbezout  16050  odinv  16053  odf1  16054  gexod  16076  gexdvds3  16080  sylow1lem1  16088  sylow1lem3  16090  pgpfi  16095  pgpssslw  16104  sylow2alem2  16108  sylow2blem3  16112  fislw  16115  sylow3lem4  16120  sylow3lem6  16122  efginvrel2  16215  efgredlemf  16229  efgredlemd  16232  efgredlemc  16233  efgredlem  16235  efgcpbllemb  16243  odadd1  16321  odadd2  16322  gexexlem  16325  gexex  16326  torsubg  16327  lt6abl  16362  gsummulg  16428  ablfacrplem  16554  ablfacrp  16555  ablfacrp2  16556  ablfac1b  16559  ablfac1c  16560  ablfac1eulem  16561  ablfac1eu  16562  pgpfac1lem2  16564  pgpfaclem1  16570  ablfaclem3  16576  srgbinomlem3  16628  srgbinomlem4  16629  psrbaglefi  17418  psrbaglefiOLD  17419  chrid  17933  znunit  17971  psgnghm  17985  dyadss  21049  dyaddisjlem  21050  ply1divex  21583  ply1termlem  21646  plyeq0lem  21653  plyaddlem1  21656  plymullem1  21657  coeeulem  21667  coeidlem  21680  coeeq2  21685  coemulhi  21696  dvply1  21725  dvply2g  21726  plydivex  21738  elqaalem2  21761  aareccl  21767  aannenlem1  21769  aalioulem1  21773  taylplem1  21803  taylplem2  21804  taylpfval  21805  dvtaylp  21810  taylthlem2  21814  dvradcnv  21861  abelthlem7  21878  cxpeq  22170  birthdaylem2  22321  ftalem1  22385  basellem3  22395  isppw2  22428  isnsqf  22448  mule1  22461  ppinncl  22487  musum  22506  chtublem  22525  pclogsum  22529  vmasum  22530  dchrabs  22574  bcmax  22592  bposlem1  22598  bposlem6  22603  lgsval2lem  22620  lgsmod  22635  lgsdirprm  22643  lgsne0  22647  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgseisenlem4  22666  lgsquadlem1  22668  m1lgs  22676  2sqlem8  22686  chebbnd1lem1  22693  dchrisumlem1  22713  dchrisum0flblem1  22732  selberg2lem  22774  ostth2lem2  22858  ostth2lem3  22859  eupath2lem3  23551  eupath2  23552  gxnn0mul  23715  nndiffz1  26026  archirng  26156  archiabllem1a  26159  qqhval2lem  26362  oddpwdc  26689  eulerpartlems  26695  eulerpartlemb  26703  sseqfv1  26724  sseqfn  26725  sseqmw  26726  sseqf  26727  sseqfv2  26729  sseqp1  26730  eluzmn  26887  ccatmulgnn0dir  26892  ofccat  26893  signsplypnf  26903  signsply0  26904  signslema  26915  signstfvn  26922  signstfvp  26924  signstfvc  26927  subfacval3  27029  binomfallfaclem2  27494  binomrisefac  27496  fallfacval4  27497  bpolydiflem  28148  geomcau  28608  eldioph2lem1  29051  pellexlem5  29127  congrep  29269  bezoutr  29281  bezoutr1  29282  zabscl  29284  jm2.18  29290  jm2.19lem1  29291  jm2.19lem2  29292  jm2.19  29295  jm2.22  29297  jm2.23  29298  jm2.20nn  29299  jm2.25  29301  jm2.26a  29302  jm2.26lem3  29303  jm2.26  29304  jm2.27a  29307  jm2.27b  29308  jm2.27c  29309  jm3.1  29322  expdiophlem1  29323  hbtlem5  29437  wallispilem1  29813  wallispilem5  29817  stirlinglem3  29824  stirlinglem5  29826  stirlinglem7  29828  stirlinglem8  29829  stirlinglem10  29831  fsummmodsnunre  30196  modfsummods  30197  powm2modprm  30201  ccat2s1fvw  30224  wwlknredwwlkn0  30312  difelfznle  30441  clwwlkndivn  30464  wwlkextproplem2  30514  numclwwlkovf2ex  30632  numclwwlk5  30658  numclwwlk6  30659  ssnn0ssfz  30693  altgsumbcALT  30701
  Copyright terms: Public domain W3C validator