MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Structured version   Unicode version

Theorem nn0zd 10846
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0zd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10768 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
2 nn0zd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3452 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   NN0cn0 10680   ZZcz 10747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748
This theorem is referenced by:  nnzd  10847  elfzelfzadd  11609  zmodfz  11830  expnegz  11999  expaddzlem  12008  expaddz  12009  expmulz  12011  faclbnd  12167  bcpasc  12198  hashge2el2dif  12286  hashtpg  12288  hashf1  12312  fz1isolem  12316  ccatcl  12376  ccatval1  12378  ccatval3  12380  ccatsymb  12383  ccatass  12388  lswccatn0lsw  12389  ccats1val2  12409  swrdtrcfv0  12440  swrdtrcfvl  12446  swrdccat1  12453  swrdccat2  12454  swrdccatin2  12480  swrdccatin12  12484  splfv2a  12500  splval2  12501  revcl  12503  revccat  12508  revrev  12509  cshwmodn  12534  cshwsublen  12535  cshwn  12536  cshwidxmod  12542  2cshwid  12550  3cshw  12554  cshweqdif2  12555  revco  12564  ccatco  12565  nnabscl  12915  absrdbnd  12931  iseraltlem3  13263  fsum0diaglem  13345  binomlem  13394  binom1p  13396  incexc2  13403  climcndslem1  13414  geoser  13431  geolim2  13433  mertenslem1  13446  mertenslem2  13447  mertens  13448  ruclem10  13623  divalglem9  13707  divalgmod  13712  bitsfzolem  13732  bitsfzo  13733  bitsmod  13734  bitsfi  13735  bitsinv1lem  13739  sadcaddlem  13755  sadadd3  13759  sadaddlem  13764  sadadd  13765  sadasslem  13768  sadass  13769  sadeq  13770  bitsres  13771  bitsuz  13772  bitsshft  13773  smuval2  13780  smupvallem  13781  smupval  13786  smueqlem  13788  smumullem  13790  smumul  13791  gcdcllem1  13797  gcd0id  13809  gcdneg  13812  gcdabs2  13821  modgcd  13822  bezoutlem4  13827  dvdsgcdb  13830  gcdass  13831  mulgcd  13832  absmulgcd  13833  gcdeq  13838  dvdsmulgcd  13840  nn0seqcvgd  13847  algfx  13857  eucalginv  13861  eucalg  13864  sqnprm  13886  mulgcddvds  13892  rpmulgcd2  13893  qredeu  13895  divnumden  13928  coprimeprodsq  13978  iserodd  14004  pclem  14007  pcpre1  14011  pcpremul  14012  pcqcl  14025  pcdvdsb  14037  pcidlem  14040  pc2dvds  14047  pcprmpw2  14050  pcadd  14053  pcfac  14063  pcbc  14064  pockthlem  14068  prmreclem2  14080  prmreclem3  14081  mul4sqlem  14116  4sqlem11  14118  4sqlem12  14119  4sqlem14  14121  vdwapun  14137  lagsubg  15845  psgnuni  16107  psgnran  16123  odmodnn0  16147  mndodconglem  16148  mndodcong  16149  odmulg2  16160  odmulg  16161  odmulgeq  16162  odbezout  16163  odinv  16166  odf1  16167  gexod  16189  gexdvds3  16193  sylow1lem1  16201  sylow1lem3  16203  pgpfi  16208  pgpssslw  16217  sylow2alem2  16221  sylow2blem3  16225  fislw  16228  sylow3lem4  16233  sylow3lem6  16235  efginvrel2  16328  efgredlemf  16342  efgredlemd  16345  efgredlemc  16346  efgredlem  16348  efgcpbllemb  16356  odadd1  16434  odadd2  16435  gexexlem  16438  gexex  16439  torsubg  16440  lt6abl  16475  gsummulg  16543  ablfacrplem  16671  ablfacrp  16672  ablfacrp2  16673  ablfac1b  16676  ablfac1c  16677  ablfac1eulem  16678  ablfac1eu  16679  pgpfac1lem2  16681  pgpfaclem1  16687  ablfaclem3  16693  srgbinomlem3  16746  srgbinomlem4  16747  psrbaglefi  17547  psrbaglefiOLD  17548  chrid  18067  znunit  18105  psgnghm  18119  dyadss  21190  dyaddisjlem  21191  ply1divex  21724  ply1termlem  21787  plyeq0lem  21794  plyaddlem1  21797  plymullem1  21798  coeeulem  21808  coeidlem  21821  coeeq2  21826  coemulhi  21837  dvply1  21866  dvply2g  21867  plydivex  21879  elqaalem2  21902  aareccl  21908  aannenlem1  21910  aalioulem1  21914  taylplem1  21944  taylplem2  21945  taylpfval  21946  dvtaylp  21951  taylthlem2  21955  dvradcnv  22002  abelthlem7  22019  cxpeq  22311  birthdaylem2  22462  ftalem1  22526  basellem3  22536  isppw2  22569  isnsqf  22589  mule1  22602  ppinncl  22628  musum  22647  chtublem  22666  pclogsum  22670  vmasum  22671  dchrabs  22715  bcmax  22733  bposlem1  22739  bposlem6  22744  lgsval2lem  22761  lgsmod  22776  lgsdirprm  22784  lgsne0  22788  lgseisenlem1  22804  lgseisenlem2  22805  lgseisenlem3  22806  lgseisenlem4  22807  lgsquadlem1  22809  m1lgs  22817  2sqlem8  22827  chebbnd1lem1  22834  dchrisumlem1  22854  dchrisum0flblem1  22873  selberg2lem  22915  ostth2lem2  22999  ostth2lem3  23000  eupath2lem3  23735  eupath2  23736  gxnn0mul  23899  nndiffz1  26209  archirng  26339  archiabllem1a  26342  qqhval2lem  26544  oddpwdc  26871  eulerpartlems  26877  eulerpartlemb  26885  sseqfv1  26906  sseqfn  26907  sseqmw  26908  sseqf  26909  sseqfv2  26911  sseqp1  26912  eluzmn  27069  ccatmulgnn0dir  27074  ofccat  27075  signsplypnf  27085  signsply0  27086  signslema  27097  signstfvn  27104  signstfvp  27106  signstfvc  27109  subfacval3  27211  binomfallfaclem2  27677  binomrisefac  27679  fallfacval4  27680  bpolydiflem  28331  geomcau  28793  eldioph2lem1  29236  pellexlem5  29312  congrep  29454  bezoutr  29466  bezoutr1  29467  zabscl  29469  jm2.18  29475  jm2.19lem1  29476  jm2.19lem2  29477  jm2.19  29480  jm2.22  29482  jm2.23  29483  jm2.20nn  29484  jm2.25  29486  jm2.26a  29487  jm2.26lem3  29488  jm2.26  29489  jm2.27a  29492  jm2.27b  29493  jm2.27c  29494  jm3.1  29507  expdiophlem1  29508  hbtlem5  29622  wallispilem1  29998  wallispilem5  30002  stirlinglem3  30009  stirlinglem5  30011  stirlinglem7  30013  stirlinglem8  30014  stirlinglem10  30016  fsummmodsnunre  30381  modfsummods  30382  powm2modprm  30386  ccat2s1fvw  30409  wwlknredwwlkn0  30497  difelfznle  30626  clwwlkndivn  30649  wwlkextproplem2  30699  numclwwlkovf2ex  30817  numclwwlk5  30843  numclwwlk6  30844  ssnn0ssfz  30879  altgsumbcALT  30888  chfacfscmulfsupp  31313  chfacfpmmulfsupp  31317  cpmadugsumlemF  31330
  Copyright terms: Public domain W3C validator