MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Unicode version

Theorem nn0zd 10329
Description: A natural number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0zd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 10258 . 2  |-  NN0  C_  ZZ
2 nn0zd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3306 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   NN0cn0 10177   ZZcz 10238
This theorem is referenced by:  nnzd  10330  zmodfz  11223  expnegz  11369  expaddzlem  11378  expaddz  11379  expmulz  11381  faclbnd  11536  bcpasc  11567  hashtpg  11646  hashf1  11661  fz1isolem  11665  ccatcl  11698  ccatval1  11700  ccatval3  11702  ccatass  11705  swrdccat1  11729  swrdccat2  11730  splfv2a  11740  splval2  11741  revcl  11748  revccat  11753  revrev  11754  revco  11758  ccatco  11759  nnabscl  12084  absrdbnd  12100  iseraltlem3  12432  fsum0diaglem  12515  binomlem  12563  binom1p  12565  incexc2  12573  climcndslem1  12584  geoser  12601  geolim2  12603  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  mertens  12618  ruclem10  12793  divalglem9  12876  divalgmod  12881  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  bitsfi  12904  bitsinv1lem  12908  sadcaddlem  12924  sadadd3  12928  sadaddlem  12933  sadadd  12934  sadasslem  12937  sadass  12938  sadeq  12939  bitsres  12940  bitsuz  12941  bitsshft  12942  smuval2  12949  smupvallem  12950  smupval  12955  smueqlem  12957  smumullem  12959  smumul  12960  gcdcllem1  12966  gcd0id  12978  gcdneg  12981  gcdabs2  12990  modgcd  12991  bezoutlem4  12996  dvdsgcdb  12999  gcdass  13000  mulgcd  13001  absmulgcd  13002  gcdeq  13007  dvdsmulgcd  13009  nn0seqcvgd  13016  algfx  13026  eucalginv  13030  eucalg  13033  sqnprm  13053  mulgcddvds  13059  rpmulgcd2  13060  qredeu  13062  divnumden  13095  coprimeprodsq  13138  iserodd  13164  pclem  13167  pcpre1  13171  pcpremul  13172  pcqcl  13185  pcdvdsb  13197  pcidlem  13200  pc2dvds  13207  pcprmpw2  13210  pcadd  13213  pcfac  13223  pcbc  13224  pockthlem  13228  prmreclem2  13240  prmreclem3  13241  mul4sqlem  13276  4sqlem11  13278  4sqlem12  13279  4sqlem14  13281  vdwapun  13297  lagsubg  14957  odmodnn0  15133  mndodconglem  15134  mndodcong  15135  odmulg2  15146  odmulg  15147  odmulgeq  15148  odbezout  15149  odinv  15152  odf1  15153  gexod  15175  gexdvds3  15179  sylow1lem1  15187  sylow1lem3  15189  pgpfi  15194  pgpssslw  15203  sylow2alem2  15207  sylow2blem3  15211  fislw  15214  sylow3lem4  15219  sylow3lem6  15221  efginvrel2  15314  efgredlemf  15328  efgredlemd  15331  efgredlemc  15332  efgredlem  15334  efgcpbllemb  15342  odadd1  15418  odadd2  15419  gexexlem  15422  gexex  15423  torsubg  15424  lt6abl  15459  gsummulg  15492  ablfacrplem  15578  ablfacrp  15579  ablfacrp2  15580  ablfac1b  15583  ablfac1c  15584  ablfac1eulem  15585  ablfac1eu  15586  pgpfac1lem2  15588  pgpfaclem1  15594  ablfaclem3  15600  psrbaglefi  16392  chrid  16763  znunit  16799  dyadss  19439  dyaddisjlem  19440  ply1divex  20012  ply1termlem  20075  plyeq0lem  20082  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coeidlem  20109  coeeq2  20114  coemulhi  20125  dvply1  20154  dvply2g  20155  plydivex  20167  elqaalem2  20190  aareccl  20196  aannenlem1  20198  aalioulem1  20202  taylplem1  20232  taylplem2  20233  taylpfval  20234  dvtaylp  20239  taylthlem2  20243  dvradcnv  20290  abelthlem7  20307  cxpeq  20594  birthdaylem2  20744  ftalem1  20808  basellem3  20818  isppw2  20851  isnsqf  20871  mule1  20884  ppinncl  20910  musum  20929  chtublem  20948  pclogsum  20952  vmasum  20953  dchrabs  20997  bcmax  21015  bposlem1  21021  bposlem6  21026  lgsval2lem  21043  lgsmod  21058  lgsdirprm  21066  lgsne0  21070  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem2  21087  lgseisenlem3  21088  lgseisenlem4  21089  lgsquadlem1  21091  m1lgs  21099  2sqlem8  21109  chebbnd1lem1  21116  dchrisumlem1  21136  dchrisum0flblem1  21155  selberg2lem  21197  ostth2lem2  21281  ostth2lem3  21282  eupath2lem3  21654  eupath2  21655  gxnn0mul  21818  qqhval2lem  24318  subfacval3  24828  binomfallfaclem1  25306  binomfallfaclem2  25307  binomrisefac  25309  bpolydiflem  26004  geomcau  26355  eldioph2lem1  26708  pellexlem5  26786  congrep  26928  bezoutr  26940  bezoutr1  26941  zabscl  26943  jm2.18  26949  jm2.19lem1  26950  jm2.19lem2  26951  jm2.19  26954  jm2.22  26956  jm2.23  26957  jm2.20nn  26958  jm2.25  26960  jm2.26a  26961  jm2.26lem3  26962  jm2.26  26963  jm2.27a  26966  jm2.27b  26967  jm2.27c  26968  jm3.1  26981  expdiophlem1  26982  hbtlem5  27200  psgnuni  27290  psgnghm  27305  wallispilem1  27681  wallispilem5  27685  stirlinglem3  27692  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696  stirlinglem8  27697  stirlinglem10  27699  elfzelfzadd  27982  swrdccatin2  28018  swrdccat3  28029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239
  Copyright terms: Public domain W3C validator