Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvc 29977
 Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvc ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvc
Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ ∅))
21fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)))
32fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁))
43eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑔 = ∅ → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
54imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = ∅ → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
6 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑒 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝑒))
76fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑒 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒)))
87fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑒 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
98eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑔 = 𝑒 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
109imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = 𝑒 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
11 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
1211fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
1312fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
1413eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
16 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝐺))
1716fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺)))
1817fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁))
1918eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
2019imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
21 ccatrid 13223 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ∅) = 𝐹)
2221fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)) = (𝑇𝐹))
2322fveq1d 6105 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
2423adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
25 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
26 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑒 ∈ Word ℝ)
27 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2827s1cld 13236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ)
29 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
3130fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
3231fveq1d 6105 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
33 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
3425, 26, 33syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
35 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Word ℝ → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
3736nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
38 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ → (#‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
3934, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
4039nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ)
4136nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
42 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ Word ℝ → (#‘𝑒) ∈ ℕ0)
4326, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝑒) ∈ ℕ0)
44 nn0addge1 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑒) ∈ ℕ0) → (#‘𝐹) ≤ ((#‘𝐹) + (#‘𝑒)))
4541, 43, 44syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝐹) ≤ ((#‘𝐹) + (#‘𝑒)))
46 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (#‘(𝐹 ++ 𝑒)) = ((#‘𝐹) + (#‘𝑒)))
4725, 26, 46syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘(𝐹 ++ 𝑒)) = ((#‘𝐹) + (#‘𝑒)))
4845, 47breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝐹) ≤ (#‘(𝐹 ++ 𝑒)))
49 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐹)) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘(𝐹 ++ 𝑒))))
5037, 40, 48, 49syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐹)))
51 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(#‘𝐹)) → (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘(𝐹 ++ 𝑒))))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘(𝐹 ++ 𝑒))))
53 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
5452, 53sseldd 3569 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ++ 𝑒))))
55 signsv.p . . . . . . . . . . 11 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
56 signsv.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
57 signsv.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
58 signsv.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5955, 56, 57, 58signstfvp 29974 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ++ 𝑒)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
6034, 27, 54, 59syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
6132, 60eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
6261adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
63 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
6462, 63eqtrd 2644 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
6564exp31 628 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
6665a2d 29 . . . 4 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
675, 10, 15, 20, 24, 66wrdind 13328 . . 3 (𝐺 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
68673impib 1254 . 2 ((𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
69683com12 1261 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158 This theorem is referenced by:  signstres  29978
 Copyright terms: Public domain W3C validator