Theorem signstfvcl 29976

Description: Closure of the zero skipping sign in case the first letter is not zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfvcl	⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 1})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑎,𝑇,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	eldifad 3552	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3		signsv.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4		signsv.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
5		signsv.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
6		signsv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
7	3, 4, 5, 6	signstcl 29968	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})
8	2, 7	sylancom 698	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})
9	3, 4, 5, 6	signstfvneq0 29975	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
10		eldifsn 4260	. . 3 ⊢ (((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ ({-1, 0, 1} ∖ {0}) ↔ (((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1} ∧ ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
11	8, 9, 10	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ ({-1, 0, 1} ∖ {0}))
12		tpcomb 4230	. . . 4 ⊢ {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
13	12	difeq1i 3686	. . 3 ⊢ ({-1, 0, 1} ∖ {0}) = ({-1, 1, 0} ∖ {0})
14		neg1ne0 11003	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
15		ax-1ne0 9884	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
16		diftpsn3 4273	. . . 4 ⊢ ((-1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1})
17	14, 15, 16	mp2an 704	. . 3 ⊢ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1}
18	13, 17	eqtri 2632	. 2 ⊢ ({-1, 0, 1} ∖ {0}) = {-1, 1}
19	11, 18	syl6eleq 2698	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  -cneg 10146  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   Σ_g cgsu 15924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-sgn 13675  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cntz 17573

This theorem is referenced by:  signsvfn  29985  signlem0  29990