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Theorem signstfvc 28171
 Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p
signsv.w
signsv.t Word ..^ g sgn
signsv.v Word ..^
Assertion
Ref Expression
signstfvc Word Word ..^ concat
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,)   (,,,)   (,,,,,)   (,,)

Proof of Theorem signstfvc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6290 . . . . . . . . 9 concat concat
21fveq2d 5868 . . . . . . . 8 concat concat
32fveq1d 5866 . . . . . . 7 concat concat
43eqeq1d 2469 . . . . . 6 concat concat
54imbi2d 316 . . . . 5 Word ..^ concat Word ..^ concat
6 oveq2 6290 . . . . . . . . 9 concat concat
76fveq2d 5868 . . . . . . . 8 concat concat
87fveq1d 5866 . . . . . . 7 concat concat
98eqeq1d 2469 . . . . . 6 concat concat
109imbi2d 316 . . . . 5 Word ..^ concat Word ..^ concat
11 oveq2 6290 . . . . . . . . 9 concat concat concat concat
1211fveq2d 5868 . . . . . . . 8 concat concat concat concat
1312fveq1d 5866 . . . . . . 7 concat concat concat concat
1413eqeq1d 2469 . . . . . 6 concat concat concat concat
1514imbi2d 316 . . . . 5 concat Word ..^ concat Word ..^ concat concat
16 oveq2 6290 . . . . . . . . 9 concat concat
1716fveq2d 5868 . . . . . . . 8 concat concat
1817fveq1d 5866 . . . . . . 7 concat concat
1918eqeq1d 2469 . . . . . 6 concat concat
2019imbi2d 316 . . . . 5 Word ..^ concat Word ..^ concat
21 ccatrid 12565 . . . . . . . 8 Word concat
2221fveq2d 5868 . . . . . . 7 Word concat
2322fveq1d 5866 . . . . . 6 Word concat
2423adantr 465 . . . . 5 Word ..^ concat
25 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word ..^ Word
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word ..^ Word
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word Word ..^
2827s1cld 12574 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word ..^ Word
29 ccatass 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word Word concat concat concat concat
3025, 26, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ..^ concat concat concat concat
3130fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ concat concat concat concat
3231fveq1d 5866 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ concat concat concat concat
33 ccatcl 12554 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word concat Word
3425, 26, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ concat Word
35 lencl 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
3625, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word ..^
3736nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word ..^
38 lencl 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 concat Word concat
3934, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word ..^ concat
4039nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word ..^ concat
4136nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word ..^
42 lencl 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
4326, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word ..^
44 nn0addge1 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4541, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word ..^
46 ccatlen 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word concat
4725, 26, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Word ..^ concat
4845, 47breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word ..^ concat
4937, 40, 483jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word Word ..^ concat concat
50 eluz2 11084 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat concat concat
5149, 50sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word ..^ concat
52 fzoss2 11817 . . . . . . . . . . . . . 14 concat ..^ ..^ concat
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ..^ ..^ ..^ concat
54 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ..^ ..^
5553, 54sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ ..^ concat
56 signsv.p . . . . . . . . . . . . 13
57 signsv.w . . . . . . . . . . . . 13
58 signsv.t . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ g sgn
59 signsv.v . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^
6056, 57, 58, 59signstfvp 28168 . . . . . . . . . . . 12 concat Word ..^ concat concat concat concat
6134, 27, 55, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ concat concat concat
6232, 61eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ concat concat concat
6362adantr 465 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat concat concat concat
64 simpr 461 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat concat
6563, 64eqtrd 2508 . . . . . . . 8 Word Word ..^ concat concat concat
6665ex 434 . . . . . . 7 Word Word ..^ concat concat concat
6766ex 434 . . . . . 6 Word Word ..^ concat concat concat
6867a2d 26 . . . . 5 Word Word ..^ concat Word ..^ concat concat
695, 10, 15, 20, 24, 68wrdind 12661 . . . 4 Word Word ..^ concat
7069imp 429 . . 3 Word Word ..^ concat
71703impb 1192 . 2 Word Word ..^ concat
72713com12 1200 1 Word Word ..^ concat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   wss 3476  c0 3785  cif 3939  cpr 4029  ctp 4031  cop 4033   class class class wbr 4447   cmpt 4505  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmpt2 6284  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cle 9625   cmin 9801  cneg 9802  cn0 10791  cz 10860  cuz 11078  cfz 11668  ..^cfzo 11788  chash 12369  Word cword 12496   concat cconcat 12498  cs1 12499  sgncsgn 12878  csu 13467  cnx 14483  cbs 14486   cplusg 14551   g cgsu 14692 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507  df-substr 12508 This theorem is referenced by:  signstres  28172
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