Theorem cshwn 13394

Description: A word cyclically shifted by its length is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwn	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem cshwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 13390	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift (#‘𝑊)) = ∅
2		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift (#‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2668	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊)
5	4	a1d 25	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊))
6		lencl 13179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
8		cshwmodn 13392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((#‘𝑊) mod (#‘𝑊))))
9	7, 8	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((#‘𝑊) mod (#‘𝑊))))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((#‘𝑊) mod (#‘𝑊))))
11		necom 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
12		lennncl 13180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2b 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 11746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
15	14	ancoms 468	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
16		modid0 12558	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((#‘𝑊) mod (#‘𝑊)) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((#‘𝑊) mod (#‘𝑊)) = 0)
18	17	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift ((#‘𝑊) mod (#‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift 0))
19		cshw0 13391	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
21	10, 18, 20	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊)
22	21	ex 449	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊))
23	5, 22	pm2.61ine 2865	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   cyclShift ccsh 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386

This theorem is referenced by:  2cshwid  13411  cshweqdif2  13416  scshwfzeqfzo  13423  cshwcshid  13424  clwwisshclwwn  26336  clwwisshclwwsn  41236  eucrct2eupth  41413