MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnuni 17742
Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnuni.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
Assertion
Ref Expression
psgnuni (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2 lencl 13179 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11356 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
5 m1expcl 12745 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑊)) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) ∈ ℤ)
76zcnd 11359 . 2 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) ∈ ℂ)
8 psgnuni.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
9 lencl 13179 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 11356 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
12 m1expcl 12745 . . . 4 ((#‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑋)) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑋)) ∈ ℤ)
1413zcnd 11359 . 2 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑋)) ∈ ℂ)
15 neg1cn 11001 . . . 4 -1 ∈ ℂ
16 neg1ne0 11003 . . . 4 -1 ≠ 0
17 expne0i 12754 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(#‘𝑋)) ≠ 0)
1815, 16, 17mp3an12 1406 . . 3 ((#‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑋)) ≠ 0)
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑋)) ≠ 0)
20 m1expaddsub 17741 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
214, 11, 20syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
22 expsub 12770 . . . . . 6 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
2315, 16, 22mpanl12 714 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
244, 11, 23syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
2521, 24eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
26 revcl 13361 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
28 ccatlen 13213 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘(reverse‘𝑋))))
291, 27, 28syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘(reverse‘𝑋))))
30 revlen 13362 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (#‘(reverse‘𝑋)) = (#‘𝑋))
318, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(reverse‘𝑋)) = (#‘𝑋))
3231oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝑊) + (#‘(reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
3329, 32eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
3433oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
35 psgnuni.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
36 psgnuni.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
37 psgnuni.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
38 ccatcl 13212 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
391, 27, 38syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
40 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
4140fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
42 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4336, 35, 42symgtrinv 17715 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4437, 8, 43syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4541, 44eqtr2d 2645 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
4645oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
4735symggrp 17643 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
4837, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
49 grpmnd 17252 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
51 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5236, 35, 51symgtrf 17712 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
53 sswrd 13168 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
5554, 1sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
5651gsumwcl 17200 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
5750, 55, 56syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
58 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
59 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6051, 58, 59, 42grprinv 17292 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6148, 57, 60syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6246, 61eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g𝐺))
6354, 27sseldi 3566 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
6451, 58gsumccat 17201 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6550, 55, 63, 64syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6635symgid 17644 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6737, 66syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6862, 65, 673eqtr4d 2654 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
6935, 36, 37, 39, 68psgnunilem4 17740 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
7034, 69eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = 1)
7125, 70eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))) = 1)
727, 14, 19, 71diveq1d 10688 1 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wss 3540   I cid 4948  ran crn 5039  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  0cn0 11169  cz 11254  cexp 12722  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  reversecreverse 13152  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  SymGrpcsymg 17620  pmTrspcpmtr 17684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685
This theorem is referenced by:  psgneu  17749  psgndiflemA  19766
  Copyright terms: Public domain W3C validator