Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Unicode version

Theorem psgnuni 16848
 Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g
psgnuni.t pmTrsp
psgnuni.d
psgnuni.w Word
psgnuni.x Word
psgnuni.e g g
Assertion
Ref Expression
psgnuni

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 Word
2 lencl 12614 . . . . . 6 Word
31, 2syl 17 . . . . 5
43nn0zd 11006 . . . 4
5 m1expcl 12233 . . . 4
64, 5syl 17 . . 3
76zcnd 11009 . 2
8 psgnuni.x . . . . . 6 Word
9 lencl 12614 . . . . . 6 Word
108, 9syl 17 . . . . 5
1110nn0zd 11006 . . . 4
12 m1expcl 12233 . . . 4
1311, 12syl 17 . . 3
1413zcnd 11009 . 2
15 neg1cn 10680 . . . 4
16 neg1ne0 10682 . . . 4
17 expne0i 12242 . . . 4
1815, 16, 17mp3an12 1316 . . 3
1911, 18syl 17 . 2
20 m1expaddsub 16847 . . . . 5
214, 11, 20syl2anc 659 . . . 4
22 expsub 12258 . . . . . 6
2315, 16, 22mpanl12 680 . . . . 5
244, 11, 23syl2anc 659 . . . 4
2521, 24eqtr3d 2445 . . 3
26 revcl 12791 . . . . . . . 8 Word reverse Word
278, 26syl 17 . . . . . . 7 reverse Word
28 ccatlen 12648 . . . . . . 7 Word reverse Word ++ reverse reverse
291, 27, 28syl2anc 659 . . . . . 6 ++ reverse reverse
30 revlen 12792 . . . . . . . 8 Word reverse
318, 30syl 17 . . . . . . 7 reverse
3231oveq2d 6294 . . . . . 6 reverse
3329, 32eqtrd 2443 . . . . 5 ++ reverse
3433oveq2d 6294 . . . 4 ++ reverse
35 psgnuni.g . . . . 5
36 psgnuni.t . . . . 5 pmTrsp
37 psgnuni.d . . . . 5
38 ccatcl 12647 . . . . . 6 Word reverse Word ++ reverse Word
391, 27, 38syl2anc 659 . . . . 5 ++ reverse Word
40 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 g g
4140fveq2d 5853 . . . . . . . . 9 g g
42 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
4336, 35, 42symgtrinv 16821 . . . . . . . . . 10 Word g g reverse
4437, 8, 43syl2anc 659 . . . . . . . . 9 g g reverse
4541, 44eqtr2d 2444 . . . . . . . 8 g reverse g
4645oveq2d 6294 . . . . . . 7 g g reverse g g
4735symggrp 16749 . . . . . . . . 9
4837, 47syl 17 . . . . . . . 8
49 grpmnd 16386 . . . . . . . . . 10
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9
51 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
5236, 35, 51symgtrf 16818 . . . . . . . . . . 11
53 sswrd 12606 . . . . . . . . . . 11 Word Word
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word Word
5554, 1sseldi 3440 . . . . . . . . 9 Word
5651gsumwcl 16332 . . . . . . . . 9 Word g
5750, 55, 56syl2anc 659 . . . . . . . 8 g
58 eqid 2402 . . . . . . . . 9
59 eqid 2402 . . . . . . . . 9
6051, 58, 59, 42grprinv 16421 . . . . . . . 8 g g g
6148, 57, 60syl2anc 659 . . . . . . 7 g g
6246, 61eqtrd 2443 . . . . . 6 g g reverse
6354, 27sseldi 3440 . . . . . . 7 reverse Word
6451, 58gsumccat 16333 . . . . . . 7 Word reverse Word g ++ reverse g g reverse
6550, 55, 63, 64syl3anc 1230 . . . . . 6 g ++ reverse g g reverse
6635symgid 16750 . . . . . . 7
6737, 66syl 17 . . . . . 6
6862, 65, 673eqtr4d 2453 . . . . 5 g ++ reverse
6935, 36, 37, 39, 68psgnunilem4 16846 . . . 4 ++ reverse
7034, 69eqtr3d 2445 . . 3
7125, 70eqtr3d 2445 . 2
727, 14, 19, 71diveq1d 10369 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   wss 3414   cid 4733   crn 4824   cres 4825  cfv 5569  (class class class)co 6278  cc 9520  cc0 9522  c1 9523   caddc 9525   cmin 9841  cneg 9842   cdiv 10247  cn0 10836  cz 10905  cexp 12210  chash 12452  Word cword 12583   ++ cconcat 12585  reversecreverse 12589  cbs 14841   cplusg 14909  c0g 15054   g cgsu 15055  cmnd 16243  cgrp 16377  cminusg 16378  csymg 16726  pmTrspcpmtr 16790 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-word 12591  df-lsw 12592  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-splice 12596  df-reverse 12597  df-s2 12869  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-tset 14928  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-oppg 16705  df-symg 16727  df-pmtr 16791 This theorem is referenced by:  psgneu  16855  psgndiflemA  18935
 Copyright terms: Public domain W3C validator