Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnran Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnran 17758
 Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnran.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnran ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 psgnran.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
31, 2sygbasnfpfi 17755 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
43ex 449 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
54pm4.71d 664 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6 psgnran.s . . . . 5 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
71, 6, 2psgneldm 17746 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
85, 7syl6bbr 277 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃𝑄 ∈ dom 𝑆))
9 eqid 2610 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
101, 9, 6psgnvali 17751 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤))))
11 lencl 13179 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (#‘𝑤) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11356 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (#‘𝑤) ∈ ℤ)
13 m1expcl2 12744 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14 prcom 4211 . . . . . . . . . 10 {-1, 1} = {1, -1}
1513, 14syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18 eleq1a 2683 . . . . . . 7 ((-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2019adantld 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2120rexlimdva 3013 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2210, 21syl5 33 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
238, 22sylbid 229 . 2 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2423imp 444 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  {cpr 4127   I cid 4948  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816  -cneg 10146  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  #chash 12979  Word cword 13146  Basecbs 15695   Σg cgsu 15924  SymGrpcsymg 17620  pmTrspcpmtr 17684  pmSgncpsgn 17732 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734 This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  19759  mdetpmtr1  29217  mdetpmtr12  29219
 Copyright terms: Public domain W3C validator