Theorem dvdsn1add 38829

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀, then 𝐾 does not divide (𝑀 + 𝑁). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsn1add	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvdsn1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zaddcl 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		simp3 1056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6	5	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		pm3.22 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∥ 𝑁 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
8	7	adantll 746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → (𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
9		dvds2sub 14854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)))
10	6, 8, 9	sylc 63	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11		zcn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant2 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
14	4	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 10272	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	10, 16	breqtrd 4609	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
18	17	adantlrl 752	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
19		simplrl 796	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
20	18, 19	pm2.65da 598	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))
21	20	ex 449	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822

This theorem is referenced by: (None)