Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsupss 11653
 Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 9893.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦𝑥𝑚𝑥))
21cbvralv 3147 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑥)
3 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑚𝑥𝑚𝑛))
43ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑚𝐴 𝑚𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
52, 4syl5bb 271 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
65cbvrexv 3148 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
7 simp1rl 1119 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
87znegcld 11360 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
9 simp2 1055 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
109zred 11358 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
117zred 11358 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
12 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
13 simp1rr 1120 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
14 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = -𝑤 → (𝑚𝑛 ↔ -𝑤𝑛))
1514rspcv 3278 . . . . . . . . . . 11 (-𝑤𝐴 → (∀𝑚𝐴 𝑚𝑛 → -𝑤𝑛))
1612, 13, 15sylc 63 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝑛)
1710, 11, 16lenegcon1d 10488 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛𝑤)
18 eluz2 11569 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑛𝑤))
198, 9, 17, 18syl3anbrc 1239 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛))
2019rabssdv 3645 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
21 n0 3890 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛𝐴)
22 ssel2 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
2322znegcld 11360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
2422zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℂ)
2524negnegd 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → --𝑛 = 𝑛)
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
2725, 26eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → --𝑛𝐴)
28 negeq 10152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = -𝑛 → -𝑤 = --𝑛)
2928eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = -𝑛 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑛𝐴))
3029rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ --𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3123, 27, 30syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3231ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴))
3332exlimdv 1848 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑛 𝑛𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴))
3433imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3521, 34sylan2b 491 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
37 rabn0 3912 . . . . . . . 8 ({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3836, 37sylibr 223 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅)
39 infssuzcl 11648 . . . . . . 7 (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
4020, 38, 39syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
41 negeq 10152 . . . . . . . . 9 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → -𝑛 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
4241eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (-𝑛𝐴 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
43 negeq 10152 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑛 → -𝑤 = -𝑛)
4443eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑛 → (-𝑤𝐴 ↔ -𝑛𝐴))
4544cbvrabv 3172 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ -𝑛𝐴}
4642, 45elrab2 3333 . . . . . . 7 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ↔ (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
4746simprbi 479 . . . . . 6 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
4840, 47syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
49 ssrab2 3650 . . . . . . . . . 10 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℤ
5040adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
5149, 50sseldi 3566 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5251zred 11358 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
53 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
5453sselda 3568 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℤ)
5554zred 11358 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
5620adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
5754znegcld 11360 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ ℤ)
5854zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
5958negnegd 10262 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
60 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
6159, 60eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦𝐴)
62 negeq 10152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → -𝑤 = --𝑦)
6362eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
6463elrab 3331 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ --𝑦𝐴))
6557, 61, 64sylanbrc 695 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
66 infssuzle 11647 . . . . . . . . 9 (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
6756, 65, 66syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
6852, 55, 67lenegcon2d 10489 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
6951znegcld 11360 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
7069zred 11358 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7155, 70lenltd 10062 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
7268, 71mpbid 221 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
7372ralrimiva 2949 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
74 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
7574rspcev 3282 . . . . . . . 8 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
7675ex 449 . . . . . . 7 (-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
7748, 76syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
7877ralrimivw 2950 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
79 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
8079notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
8180ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
82 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
8382imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8483ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8581, 84anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
8685rspcev 3282 . . . . 5 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8748, 73, 78, 86syl12anc 1316 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8887rexlimdvaa 3014 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
896, 88syl5bi 231 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
90893impia 1253 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  infcinf 8230  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564 This theorem is referenced by:  suprzcl2  11654  suprzub  11655  uzsupss  11656
 Copyright terms: Public domain W3C validator