MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsupss Unicode version

Theorem zsupss 10521
Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 9024.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B
Allowed substitution hints:    B( y, z)

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables  m  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
y  <_  x  <->  m  <_  x ) )
21cbvralv 2892 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  x )
3 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
m  <_  x  <->  m  <_  n ) )
43ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
52, 4syl5bb 249 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
65cbvrexv 2893 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n )
7 simp1rl 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  ZZ )
87znegcld 10333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  e.  ZZ )
9 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ZZ )
109zred 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
117zred 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
12 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  e.  A )
13 simp1rr 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  A. m  e.  A  m  <_  n )
14 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  -u w  ->  (
m  <_  n  <->  -u w  <_  n ) )
1514rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u w  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  n  ->  -u w  <_  n ) )
1612, 13, 15sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  <_  n )
1710, 11, 16lenegcon1d 9564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  <_  w )
18 eluz2 10450 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  -u n
)  <->  ( -u n  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  -u n  <_  w ) )
198, 9, 17, 18syl3anbrc 1138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2019rabssdv 3383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
21 n0 3597 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. n  n  e.  A )
22 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
2322znegcld 10333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u n  e.  ZZ )
2422zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  CC )
2524negnegd 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  =  n )
26 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  A )
2725, 26eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  e.  A )
28 negeq 9254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  -u n  ->  -u w  =  -u -u n )
2928eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  -u n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u n  e.  A ) )
3029rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  -u -u n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3123, 27, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3231ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
) )
3332exlimdv 1643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. n  n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A ) )
3433imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3521, 34sylan2b 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3635adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
37 rabn0 3607 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
3836, 37sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )
39 infmssuzcl 10515 . . . . . . 7  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
4020, 38, 39syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
41 negeq 9254 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  -u n  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4241eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -u n  e.  A  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A ) )
43 negeq 9254 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  n  ->  -u w  =  -u n )
4443eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u n  e.  A ) )
4544cbvrabv 2915 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =  {
n  e.  ZZ  |  -u n  e.  A }
4642, 45elrab2 3054 . . . . . . 7  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } 
<->  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
) )
4746simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
4840, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
49 ssrab2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ZZ
5040adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }
)
5149, 50sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
5251zred 10331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
53 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A  C_  ZZ )
5453sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  ZZ )
5554zred 10331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
5620adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
5754znegcld 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e.  ZZ )
5854zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  CC )
5958negnegd 9358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  =  y )
60 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
6159, 60eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  e.  A )
62 negeq 9254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  -u w  =  -u -u y )
6362eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u y  e.  A ) )
6463elrab 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u y  e.  ZZ  /\  -u -u y  e.  A ) )
6557, 61, 64sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
66 infmssuzle 10514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6756, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6852, 55, 67lenegcon2d 9565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  <_  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
6951znegcld 10333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
7069zred 10331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7155, 70lenltd 9175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_ 
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
7268, 71mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
)
7372ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y )
74 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
z  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
7574rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
7675ex 424 . . . . . . 7  |-  ( -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7748, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7877ralrimivw 2750 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
79 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  < 
y  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
8079notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
8180ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
82 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
8382imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8483ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8581, 84anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
8685rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  ( A. y  e.  A  -.  -u
sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  < 
y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8748, 73, 78, 86syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8887rexlimdvaa 2791 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
896, 88syl5bi 209 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
90893impia 1150 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   ` cfv 5413   supcsup 7403   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  suprzcl2  10522  suprzub  10523  uzsupss  10524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator