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Theorem zsupss 11050
Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 9466.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B
Allowed substitution hints:    B( y, z)

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables  m  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
y  <_  x  <->  m  <_  x ) )
21cbvralv 3047 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  x )
3 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
m  <_  x  <->  m  <_  n ) )
43ralbidv 2843 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
52, 4syl5bb 257 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
65cbvrexv 3048 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n )
7 simp1rl 1053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  ZZ )
87znegcld 10855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  e.  ZZ )
9 simp2 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ZZ )
109zred 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
117zred 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
12 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  e.  A )
13 simp1rr 1054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  A. m  e.  A  m  <_  n )
14 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  -u w  ->  (
m  <_  n  <->  -u w  <_  n ) )
1514rspcv 3169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u w  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  n  ->  -u w  <_  n ) )
1612, 13, 15sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  <_  n )
1710, 11, 16lenegcon1d 10027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  <_  w )
18 eluz2 10973 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  -u n
)  <->  ( -u n  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  -u n  <_  w ) )
198, 9, 17, 18syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2019rabssdv 3535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
21 n0 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. n  n  e.  A )
22 ssel2 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
2322znegcld 10855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u n  e.  ZZ )
2422zcnd 10854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  CC )
2524negnegd 9816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  =  n )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  A )
2725, 26eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  e.  A )
28 negeq 9708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  -u n  ->  -u w  =  -u -u n )
2928eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  -u n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u n  e.  A ) )
3029rspcev 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  -u -u n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3123, 27, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3231ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
) )
3332exlimdv 1691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. n  n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A ) )
3433imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3521, 34sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
37 rabn0 3760 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
3836, 37sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )
39 infmssuzcl 11044 . . . . . . 7  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
4020, 38, 39syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
41 negeq 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  -u n  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4241eleq1d 2521 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -u n  e.  A  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A ) )
43 negeq 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  n  ->  -u w  =  -u n )
4443eleq1d 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u n  e.  A ) )
4544cbvrabv 3071 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =  {
n  e.  ZZ  |  -u n  e.  A }
4642, 45elrab2 3220 . . . . . . 7  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } 
<->  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
) )
4746simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
4840, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
49 ssrab2 3540 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ZZ
5040adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }
)
5149, 50sseldi 3457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
5251zred 10853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
53 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A  C_  ZZ )
5453sselda 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  ZZ )
5554zred 10853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
5620adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
5754znegcld 10855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e.  ZZ )
5854zcnd 10854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  CC )
5958negnegd 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  =  y )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
6159, 60eqeltrd 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  e.  A )
62 negeq 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  -u w  =  -u -u y )
6362eleq1d 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u y  e.  A ) )
6463elrab 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u y  e.  ZZ  /\  -u -u y  e.  A ) )
6557, 61, 64sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
66 infmssuzle 11043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6756, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6852, 55, 67lenegcon2d 10028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  <_  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
6951znegcld 10855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
7069zred 10853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7155, 70lenltd 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_ 
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
7268, 71mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
)
7372ralrimiva 2827 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y )
74 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
z  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
7574rspcev 3173 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
7675ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7748, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7877ralrimivw 2828 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
79 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  < 
y  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
8079notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
8180ralbidv 2843 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
82 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
8382imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8483ralbidv 2843 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8581, 84anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
8685rspcev 3173 . . . . 5  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  ( A. y  e.  A  -.  -u
sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  < 
y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8748, 73, 78, 86syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8887rexlimdvaa 2942 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
896, 88syl5bi 217 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
90893impia 1185 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   {crab 2800    C_ wss 3431   (/)c0 3740   class class class wbr 4395   `'ccnv 4942   ` cfv 5521   supcsup 7796   RRcr 9387    < clt 9524    <_ cle 9525   -ucneg 9702   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968
This theorem is referenced by:  suprzcl2  11051  suprzub  11052  uzsupss  11053
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