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Theorem zsupss 11090
Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 9481.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B
Allowed substitution hints:    B( y, z)

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables  m  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4370 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
y  <_  x  <->  m  <_  x ) )
21cbvralv 3009 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  x )
3 breq2 4371 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
m  <_  x  <->  m  <_  n ) )
43ralbidv 2821 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
52, 4syl5bb 257 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
65cbvrexv 3010 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n )
7 simp1rl 1059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  ZZ )
87znegcld 10886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  e.  ZZ )
9 simp2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ZZ )
109zred 10884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
117zred 10884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
12 simp3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  e.  A )
13 simp1rr 1060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  A. m  e.  A  m  <_  n )
14 breq1 4370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  -u w  ->  (
m  <_  n  <->  -u w  <_  n ) )
1514rspcv 3131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u w  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  n  ->  -u w  <_  n ) )
1612, 13, 15sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  <_  n )
1710, 11, 16lenegcon1d 10051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  <_  w )
18 eluz2 11007 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  -u n
)  <->  ( -u n  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  -u n  <_  w ) )
198, 9, 17, 18syl3anbrc 1178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2019rabssdv 3494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
21 n0 3721 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. n  n  e.  A )
22 ssel2 3412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
2322znegcld 10886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u n  e.  ZZ )
2422zcnd 10885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  CC )
2524negnegd 9835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  =  n )
26 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  A )
2725, 26eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  e.  A )
28 negeq 9725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  -u n  ->  -u w  =  -u -u n )
2928eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  -u n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u n  e.  A ) )
3029rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  -u -u n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3123, 27, 30syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3231ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
) )
3332exlimdv 1732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. n  n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A ) )
3433imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3521, 34sylan2b 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3635adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
37 rabn0 3732 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
3836, 37sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )
39 infmssuzcl 11084 . . . . . . 7  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
4020, 38, 39syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
41 negeq 9725 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  -u n  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4241eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -u n  e.  A  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A ) )
43 negeq 9725 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  n  ->  -u w  =  -u n )
4443eleq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u n  e.  A ) )
4544cbvrabv 3033 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =  {
n  e.  ZZ  |  -u n  e.  A }
4642, 45elrab2 3184 . . . . . . 7  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } 
<->  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
) )
4746simprbi 462 . . . . . 6  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
4840, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
49 ssrab2 3499 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ZZ
5040adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }
)
5149, 50sseldi 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
5251zred 10884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
53 simpll 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A  C_  ZZ )
5453sselda 3417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  ZZ )
5554zred 10884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
5620adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
5754znegcld 10886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e.  ZZ )
5854zcnd 10885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  CC )
5958negnegd 9835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  =  y )
60 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
6159, 60eqeltrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  e.  A )
62 negeq 9725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  -u w  =  -u -u y )
6362eleq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u y  e.  A ) )
6463elrab 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u y  e.  ZZ  /\  -u -u y  e.  A ) )
6557, 61, 64sylanbrc 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
66 infmssuzle 11083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6756, 65, 66syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6852, 55, 67lenegcon2d 10052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  <_  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
6951znegcld 10886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
7069zred 10884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7155, 70lenltd 9642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_ 
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
7268, 71mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
)
7372ralrimiva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y )
74 breq2 4371 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
z  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
7574rspcev 3135 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
7675ex 432 . . . . . . 7  |-  ( -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7748, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7877ralrimivw 2797 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
79 breq1 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  < 
y  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
8079notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
8180ralbidv 2821 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
82 breq2 4371 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
8382imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8483ralbidv 2821 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8581, 84anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
8685rspcev 3135 . . . . 5  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  ( A. y  e.  A  -.  -u
sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  < 
y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8748, 73, 78, 86syl12anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8887rexlimdvaa 2875 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
896, 88syl5bi 217 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
90893impia 1191 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   ` cfv 5496   supcsup 7815   RRcr 9402    < clt 9539    <_ cle 9540   -ucneg 9719   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002
This theorem is referenced by:  suprzcl2  11091  suprzub  11092  uzsupss  11093
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