Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmlid2 41741
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid2 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid2
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2 2zrngbas.r . . 3 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
3 2zrngmmgm.1 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
41, 2, 32zrngnmrid 41740 . 2 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
5 eldifi 3694 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎𝐸)
6 elrabi 3328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
76zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
87, 1eleq2s 2706 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝐸𝑎 ∈ ℂ)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℂ)
10 elrabi 3328 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
1110zcnd 11359 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
1211, 1eleq2s 2706 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
13 mulcom 9901 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
149, 12, 13syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
1514eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
1615eqeq1d 2612 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
1716biimpd 218 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
1817necon3d 2803 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
1918ralimdva 2945 . . 3 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
2019ralimia 2934 . 2 (∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
214, 20ax-mp 5 1 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  cdif 3537  {csn 4125  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  2c2 10947  cz 11254  s cress 15696  mulGrpcmgp 18312  fldccnfld 19567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator