Theorem blennngt2o2 42184

Description: The binary length of an odd integer greater than 1 is the binary length of the half of the integer decreased by 1, increased by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
blennngt2o2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Proof of Theorem blennngt2o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 11713	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		1ne2 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
3	2	necomi 2836	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 1
4		eldifsn 4260	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1))
5	1, 3, 4	mpbir2an 957	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℝ+ ∖ {1})
6		uz2m1nn 11639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 11746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
9		relogbdivb 42154	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
10	5, 8, 9	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
11	10	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) = (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)))
12	11	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1))
13	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
14	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
15		relogbcl 24311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	13, 7, 14, 15	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17		1z 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16, 17	jctir 559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
20		flsubz 42106	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
22	21	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1) = (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1))
23	16	flcld 12461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		npcan1 10334	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
28		eluz2nn 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	peano2nnd 10914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	29	nnred 10912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31		2re 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
33		eluzge2nn0 11603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34		nn0p1gt0 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 + 1))
36		2pos 10989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 2)
38	30, 32, 35, 37	divgt0d 10838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
39		nn0z 11277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
40	38, 39	anim12ci 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
41		elnnz 11264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
42	40, 41	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
43		nnolog2flm1 42182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
44	42, 43	syldan 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
45	27, 44	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
46	12, 22, 45	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
47	46	oveq1d 6564	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
48		nno 14936	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
49		blennn 42167	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → (#b‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1))
50	49	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
51	48, 50	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
52		blennn 42167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
53	28, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
54	53	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
55	47, 51, 54	3eqtr4rd 2655	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  ⌊cfl 12453   log_b clogb 24302  #_bcblen 42161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-logb 24303  df-blen 42162

This theorem is referenced by:  blengt1fldiv2p1  42185  nn0sumshdiglemB  42212