Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blennngt2o2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem blennngt2o2 40456
Description: The binary length of an odd integer greater than 1 is the binary length of the half of the integer decreased by 1, increased by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
blennngt2o2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
(#b `  N )  =  ( (#b `  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  1 ) )

Proof of Theorem blennngt2o2
StepHypRef Expression
1 2rp 11307 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
2 1ne2 10822 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  2
32necomi 2678 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  1
4 eldifsn 4097 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ( RR+  \  {
1 } )  <->  ( 2  e.  RR+  /\  2  =/=  1 ) )
51, 3, 4mpbir2an 931 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( RR+  \  { 1 } )
6 uz2m1nn 11233 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
76nnrpd 11339 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  RR+ )
87adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR+ )
9 relogbdivb 40426 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ( RR+  \  { 1 } )  /\  ( N  - 
1 )  e.  RR+ )  ->  ( 2 logb  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2 logb  ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
105, 8, 9sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 logb  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( 2 logb  ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
1110fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
2 logb  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  =  ( |_ `  (
( 2 logb  ( N  - 
1 ) )  - 
1 ) ) )
1211oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( 2 logb  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( ( 2 logb  ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  +  1 ) )
131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  RR+ )
143a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  =/=  1 )
15 relogbcl 23710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( N  -  1 )  e.  RR+  /\  2  =/=  1 )  ->  (
2 logb  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
1613, 7, 14, 15syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2 logb  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
17 1z 10967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
1816, 17jctir 541 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2 logb  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ ) )
1918adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 logb  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ ) )
20 flsubz 40373 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 logb  ( N  - 
1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( ( 2 logb  ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( 2 logb  ( N  -  1 ) ) )  -  1 ) )
2119, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( 2 logb  ( N  - 
1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( |_ `  ( 2 logb  ( N  - 
1 ) ) )  -  1 ) )
2221oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( 2 logb  ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( |_
`  ( 2 logb  ( N  -  1 ) ) )  -  1 )  +  1 ) )
2316flcld 12034 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( 2 logb  ( N  - 
1 ) ) )  e.  ZZ )
2423zcnd 11041 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( 2 logb  ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
25 npcan1 10044 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( 2 logb  ( N  -  1 ) ) )  e.  CC  ->  ( ( ( |_
`  ( 2 logb  ( N  -  1 ) ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( |_ `  (
2 logb  ( N  -  1 ) ) ) )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( |_ `  (
2 logb  ( N  -  1 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( |_
`  ( 2 logb  ( N  -  1 ) ) ) )
2726adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( 2 logb  ( N  -  1 ) ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( |_ `  (
2 logb  ( N  -  1 ) ) ) )
28 eluz2nn 11197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
2928peano2nnd 10626 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3029nnred 10624 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
31 2re 10679 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  RR )
33 eluzge2nn0 11198 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN0 )
34 nn0p1gt0 10899 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  < 
( N  +  1 ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
36 2pos 10701 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  2 )
3830, 32, 35, 37divgt0d 10542 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )
39 nn0z 10960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
4038, 39anim12ci 571 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
41 elnnz 10947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  + 
1 )  /  2
) ) )
4240, 41sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )
43 nnolog2flm1 40454 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( |_ `  (
2 logb  N ) )  =  ( |_ `  (
2 logb  ( N  -  1 ) ) ) )
4442, 43syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
2 logb  N ) )  =  ( |_ `  (
2 logb  ( N  -  1 ) ) ) )
4527, 44eqtr4d 2488 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( 2 logb  ( N  -  1 ) ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( |_ `  (
2 logb  N ) ) )
4612, 22, 453eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( 2 logb  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  1 )  =  ( |_ `  (
2 logb  N ) ) )
4746oveq1d 6305 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( 2 logb  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( 2 logb  N ) )  +  1 ) )
48 nno 40381 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
49 blennn 40439 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (#b `  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  =  ( ( |_ `  (
2 logb  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  +  1 ) )
5049oveq1d 6305 . . 3  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
(#b `  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( ( ( |_
`  ( 2 logb  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  1 )  +  1 ) )
5148, 50syl 17 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( (#b `  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( ( ( |_ `  ( 2 logb  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  1 )  +  1 ) )
52 blennn 40439 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (#b `  N )  =  ( ( |_ `  (
2 logb  N ) )  +  1 ) )
5328, 52syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  (#b `  N
)  =  ( ( |_ `  ( 2 logb  N ) )  +  1 ) )
5453adantr 467 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
(#b `  N )  =  ( ( |_
`  ( 2 logb  N ) )  +  1 ) )
5547, 51, 543eqtr4rd 2496 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
(#b `  N )  =  ( (#b `  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    \ cdif 3401   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   |_cfl 12026   logb clogb 23701  #bcblen 40433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-logb 23702  df-blen 40434
This theorem is referenced by:  blengt1fldiv2p1  40457  nn0sumshdiglemB  40484
  Copyright terms: Public domain W3C validator