Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numdenneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numdenneg 28950
 Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
numdenneg (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Proof of Theorem numdenneg
StepHypRef Expression
1 qnegcl 11681 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 ∈ ℚ)
2 qnumcl 15286 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
32znegcld 11360 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → -(numer‘𝑄) ∈ ℤ)
4 qdencl 15287 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
54nnzd 11357 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
6 neggcd 15082 . . . 4 (((numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
72, 5, 6syl2anc 691 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
8 qnumdencoprm 15291 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
97, 8eqtrd 2644 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
10 qeqnumdivden 15292 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
1110negeqd 10154 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
122zcnd 11359 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
134nncnd 10913 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
144nnne0d 10942 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
1512, 13, 14divnegd 10693 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)) = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
1611, 15eqtrd 2644 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
17 qnumdenbi 15290 . . 3 ((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) → (((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) ↔ ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄))))
1817biimpa 500 . 2 (((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) ∧ ((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))) → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))
191, 3, 4, 9, 16, 18syl32anc 1326 1 (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℚcq 11664   gcd cgcd 15054  numercnumer 15279  denomcdenom 15280 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282 This theorem is referenced by:  divnumden2  28951
 Copyright terms: Public domain W3C validator