Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1ri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem1ri 29923
 Description: When the vote on the first tie is for A, the first vote is also for A on the reverse counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
Assertion
Ref Expression
ballotlem1ri (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖,𝑘   𝑥,𝑐   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem1ri
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
3 nnaddcl 10919 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 704 . . . . 5 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5 nnuz 11599 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtri 2686 . . . 4 (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1)
7 eluzfz1 12219 . . . 4 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
9 ballotth.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
10 ballotth.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
11 ballotth.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
12 ballotth.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
13 ballotth.mgtn . . . . . 6 𝑁 < 𝑀
14 ballotth.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
151, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 29890 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1615simpld 474 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
17 elfzle1 12215 . . . 4 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 1 ≤ (𝐼𝐶))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ≤ (𝐼𝐶))
19 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
20 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
211, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 20ballotlemrv1 29909 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 1 ≤ (𝐼𝐶)) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
228, 18, 21mpd3an23 1418 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
23 elfzelz 12213 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
2416, 23syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
2524zcnd 11359 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℂ)
26 1cnd 9935 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26pncand 10272 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((𝐼𝐶) + 1) − 1) = (𝐼𝐶))
2827eleq1d 2672 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶 ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
2922, 28bitrd 267 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  ballotlem7  29924
 Copyright terms: Public domain W3C validator