Theorem tgpmulg 21707

Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tgpmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptmd 21693	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
2		tgpmulg.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgpmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		tgpmulg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	2, 3, 4	tmdmulg 21706	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6	1, 5	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7	6	adantlr 747	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8		simpllr 795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	negnegd 10262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
11	10	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
12		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	4, 3, 12	mulgnegnn 17374	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
14	13	adantll 746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
15	11, 14	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
16	15	mpteq2dva 4672	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))))
17	2, 4	tgptopon 21696	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
18	17	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
19	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ TopMnd)
20		nnnn0 11176	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
21	2, 3, 4	tmdmulg 21706	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
22	19, 20, 21	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
23	2, 12	tgpinv 21699	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24	23	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (invg‘𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	18, 22, 24	cnmpt11f 21277	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	16, 25	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27	26	adantrl 748	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		elznn0nn 11268	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
30	28, 29	sylib 207	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
31	7, 27, 30	mpjaodan 823	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  Basecbs 15695  TopOpenctopn 15905  inv_gcminusg 17246  ._gcmg 17363  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  TopMndctmd 21684  TopGrpctgp 21685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-tmd 21686  df-tgp 21687

This theorem is referenced by:  tgpmulg2  21708