Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzrdgxfr 12628
 Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzrdgxfr.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4 𝐵 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzrdgxfr (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝐺𝑦) = (𝐺‘∅))
2 fveq2 6103 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐻𝑦) = (𝐻‘∅))
32oveq1d 6564 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)))
41, 3eqeq12d 2625 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))))
5 fveq2 6103 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑘))
6 fveq2 6103 . . . 4 (𝑦 = 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑘))
76oveq1d 6564 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)))
85, 7eqeq12d 2625 . 2 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵))))
9 fveq2 6103 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10 fveq2 6103 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
1110oveq1d 6564 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)))
129, 11eqeq12d 2625 . 2 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
13 fveq2 6103 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑁))
14 fveq2 6103 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑁))
1514oveq1d 6564 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
1613, 15eqeq12d 2625 . 2 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵))))
17 uzrdgxfr.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
18 zcn 11259 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
20 uzrdgxfr.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
21 zcn 11259 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21ax-mp 5 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
2319, 22pncan3i 10237 . . 3 (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴
24 uzrdgxfr.2 . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
2517, 24om2uz0i 12608 . . . 4 (𝐻‘∅) = 𝐵
2625oveq1i 6559 . . 3 ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)) = (𝐵 + (𝐴𝐵))
27 uzrdgxfr.1 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2820, 27om2uz0i 12608 . . 3 (𝐺‘∅) = 𝐴
2923, 26, 283eqtr4ri 2643 . 2 (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))
30 oveq1 6556 . . 3 ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
3120, 27om2uzsuci 12609 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺𝑘) + 1))
3217, 24om2uzsuci 12609 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻𝑘) + 1))
3332oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)))
3417, 24om2uzuzi 12610 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵))
35 eluzelz 11573 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵) → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 11359 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
38 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3922, 19subcli 10236 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
40 add32 10133 . . . . . . 7 (((𝐻𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4138, 39, 40mp3an23 1408 . . . . . 6 ((𝐻𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4237, 41syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4333, 42eqtrd 2644 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4431, 43eqeq12d 2625 . . 3 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) ↔ ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1)))
4530, 44syl5ibr 235 . 2 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
464, 8, 12, 16, 29, 45finds 6984 1 (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  suc csuc 5642  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  reccrdg 7392  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564 This theorem is referenced by:  fz1isolem  13102
 Copyright terms: Public domain W3C validator