Theorem ntrivcvg 14468

Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvg.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		uzm1 11594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
3		ntrivcvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
5	4	ad2antlr 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
6		seqeq1 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
7	6	breq1d 4593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8		seqex 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9		vex 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	breldm 5251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11	7, 10	syl6bi 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
12	11	adantld 482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13		simplr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
14		ntrivcvg.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	15	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	16	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		uzssz 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19	3, 18	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
20		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
21	19, 20	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
23		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
25	24	seqeq1d 12669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
26	25	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
27	26	biimpar 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
28	3, 13, 17, 27	clim2prod 14459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
29		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ V
30	8, 29	breldm 5251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
32	31	an32s 842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
33	32	expcom 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
34	3	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
35	33, 34	eleq2s 2706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
36	12, 35	jaoi 393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
37	5, 36	mpcom 37	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
38	37	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
39	38	adantld 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
40	39	exlimdv 1848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
41	40	rexlimdva 3013	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067

This theorem is referenced by:  iprodclim2  14569  iprodcl  14571