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Theorem ntrivcvg 14468
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvg.2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvg (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvg
StepHypRef Expression
1 ntrivcvg.2 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2 uzm1 11594 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2706 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
54ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
6 seqeq1 12666 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
76breq1d 4593 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8 seqex 12665 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
108, 9breldm 5251 . . . . . . . . . 10 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
117, 10syl6bi 242 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
1211adantld 482 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
14 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1615adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1716adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 uzssz 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
193, 18eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 ⊆ ℤ
20 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛𝑍)
2119, 20sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
2221zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
23 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
2422, 23npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
2524seqeq1d 12669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
2625breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2726biimpar 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
283, 13, 17, 27clim2prod 14459 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
29 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ V
308, 29breldm 5251 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3231an32s 842 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3332expcom 450 . . . . . . . . 9 ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
343eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = 𝑍
3533, 34eleq2s 2706 . . . . . . . 8 ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
3612, 35jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
375, 36mpcom 37 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3837ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
3938adantld 482 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4039exlimdv 1848 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4140rexlimdva 3013 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  seqcseq 12663  cli 14063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067
This theorem is referenced by:  iprodclim2  14569  iprodcl  14571
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