MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdinn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdinn0 24870
Description: Variation on lgsdi 24859 valid for all 𝑀, 𝑁 but only for positive 𝐴. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = -1, 𝑀 = 0, and some 𝑁 in which case (-1 /L 0) = 1 but (-1 /L 𝑁) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod 𝑁.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdinn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdinn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 sq1 12820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1↑2) = 1
32eqeq2i 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
4 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
5 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
6 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
7 0le1 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
8 sq11 12798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
96, 7, 8mpanr12 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
104, 5, 9syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
123, 11syl5bbr 273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
1312biimpa 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
1413oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = (1 /L 𝑥))
15 1lgs 24865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (1 /L 𝑥) = 1)
1615ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 /L 𝑥) = 1)
1714, 16eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = 1)
1817oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = (1 · (𝐴 /L 0)))
19 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2019ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
21 0z 11265 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
22 lgscl 24836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
2320, 21, 22sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
2423zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
2524mulid2d 9937 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐴 /L 0)) = (𝐴 /L 0))
2618, 25eqtr2d 2645 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
27 lgscl 24836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
2819, 27sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
2928zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
3130mul01d 10114 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · 0) = 0)
3219adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
33 lgs0 24835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
35 ifnefalse 4048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴↑2) ≠ 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
3634, 35sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = 0)
3736oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑥) · 0))
3831, 37, 363eqtr4rd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
3926, 38pm2.61dane 2869 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
4039ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
41403ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
42 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑁))
4342oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
4443eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
4544rspcv 3278 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
461, 41, 45sylc 63 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
4746adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
48193ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4948, 21, 22sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
5049zcnd 11359 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
52 lgscl 24836 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
5348, 1, 52syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
5453zcnd 11359 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
5651, 55mulcomd 9940 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
5747, 56eqtr4d 2647 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
58 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
591zcnd 11359 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6059mul02d 10113 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
6158, 60sylan9eqr 2666 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
6261oveq2d 6565 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
63 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
6463oveq2d 6565 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑀) = (𝐴 /L 0))
6564oveq1d 6564 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
6657, 62, 653eqtr4d 2654 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
67 simp2 1055 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
68 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑀))
6968oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
7069eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
7170rspcv 3278 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
7267, 41, 71sylc 63 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
7372adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
74 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
7567zcnd 11359 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7675mul01d 10114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 0) = 0)
7774, 76sylan9eqr 2666 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
7877oveq2d 6565 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
79 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8079oveq2d 6565 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
8180oveq2d 6565 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
8273, 78, 813eqtr4d 2654 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
83 lgsdi 24859 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
8419, 83syl3anl1 1366 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
8566, 82, 84pm2.61da2ne 2870 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  ifcif 4036   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  cle 9954  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cexp 12722   /L clgs 24819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-pc 15380  df-lgs 24820
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator