MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumrev2 14356
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrev2.1 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev2.2 (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumrev2 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrev2
StepHypRef Expression
1 sum0 14299 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = 0
2 sum0 14299 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
31, 2eqtr4i 2635 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
4 sumeq1 14267 . . . 4 ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ ∅ 𝐴)
5 sumeq1 14267 . . . 4 ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
63, 4, 53eqtr4a 2670 . . 3 ((𝑀...𝑁) = ∅ → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
76adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀...𝑁) = ∅) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
8 fzn0 12226 . . 3 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
9 eluzel2 11568 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 eluzelz 11573 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1310, 12zaddcld 11362 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
14 fsumrev2.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 fsumrev2.2 . . . . 5 (𝑗 = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
1713, 10, 12, 15, 16fsumrev 14353 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵)
1810zcnd 11359 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1912zcnd 11359 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2018, 19pncand 10272 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
2118, 19pncan2d 10273 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
2220, 21oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
2322sumeq1d 14279 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → Σ𝑘 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
2417, 23eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
258, 24sylan2b 491 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀...𝑁) ≠ ∅) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
267, 25pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  c0 3874  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  Σcsu 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265
This theorem is referenced by:  fsum0diag2  14357  efaddlem  14662  aareccl  23885
  Copyright terms: Public domain W3C validator