Theorem lgsdirnn0 24869

Description: Variation on lgsdir 24857 valid for all 𝐴, 𝐵 but only for positive 𝑁. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = 0, 𝐵 < 0, 𝑁 = -1 in which case (0 /_L -1) = 1 but (𝐵 /_L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdirnn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
3		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		lgscl 24836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
8	7	mul01d 10114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · 0) = 0)
9		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = 0)
10	9	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝑥 /L 𝑁) · 0))
11	8, 10, 9	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
12		0z 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		lgsne0 24860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
15	12, 13, 14	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
16		gcdcom 15073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
17	12, 13, 16	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
18		nn0gcdid0 15080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
20	17, 19	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
21	20	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑁 = 1))
22		lgs1 24866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 /L 1) = 1)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 1) = 1)
24		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝑥 /L 1))
25	24	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 /L 1) = 1))
26	23, 25	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
27	21, 26	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
28	15, 27	sylbid 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
29	28	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (𝑥 /L 𝑁) = 1)
30	29	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = (1 · (0 /L 𝑁)))
31	3	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		lgscl 24836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
33	12, 31, 32	sylancr 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
34	33	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
35	34	mulid2d 9937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (1 · (0 /L 𝑁)) = (0 /L 𝑁))
36	30, 35	eqtr2d 2645	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
37	11, 36	pm2.61dane 2869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
38	37	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
39	38	3ad2ant3 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
40		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))
41	40	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
42	41	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
43	42	rspcv 3278	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
44	1, 39, 43	sylc 63	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
46	3	3ad2ant3 1077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	12, 46, 32	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
48	47	zcnd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
50		lgscl 24836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
51	1, 46, 50	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
52	51	zcnd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
53	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
54	49, 53	mulcomd 9940	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
55	45, 54	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
56		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
57		zcn 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
58	57	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
59	58	mul02d 10113	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐵) = 0)
60	56, 59	sylan9eqr 2666	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
61	60	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
62		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
63	62	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
64	63	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
65	55, 61, 64	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
66		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
67		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
68	67	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
69	68	eqeq2d 2620	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
70	69	rspcv 3278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
71	66, 39, 70	sylc 63	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
72	71	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
73		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
74	66	zcnd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
75	74	mul01d 10114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 0) = 0)
76	73, 75	sylan9eqr 2666	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
77	76	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
78		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
79	78	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
80	79	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
81	72, 77, 80	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
82		lgsdir 24857	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
83	3, 82	syl3anl3 1368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
84	65, 81, 83	pm2.61da2ne 2870	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254   gcd cgcd 15054   /_L clgs 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-pc 15380  df-lgs 24820

This theorem is referenced by:  lgsdchr  24880