Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  m1expoddALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expoddALTV 40099
Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 6-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1expoddALTV (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expoddALTV
StepHypRef Expression
1 oddz 40082 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 11359 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3 npcan1 10334 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
43eqcomd 2616 . . . 4 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
52, 4syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
65oveq2d 6565 . 2 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = (-1↑((𝑁 − 1) + 1)))
7 neg1cn 11001 . . . 4 -1 ∈ ℂ
87a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → -1 ∈ ℂ)
9 neg1ne0 11003 . . . 4 -1 ≠ 0
109a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → -1 ≠ 0)
11 peano2zm 11297 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
138, 10, 12expp1zd 12879 . 2 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1))
14 oddm1eveni 40093 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ Even )
15 m1expevenALTV 40098 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ Even → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
1716oveq1d 6564 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = (1 · -1))
188mulid2d 9937 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → (1 · -1) = -1)
1917, 18eqtrd 2644 . 2 (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = -1)
206, 13, 193eqtrd 2648 1 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  -cneg 10146  cz 11254  cexp 12722   Even ceven 40075   Odd codd 40076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-even 40077  df-odd 40078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator