Theorem brrelex2i 5083

Description: The second argument of a binary relation exists. (An artifact of our ordered pair definition.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brrelexi.1	⊢ Rel 𝑅

Assertion

Ref	Expression
brrelex2i	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem brrelex2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brrelexi.1	. 2 ⊢ Rel 𝑅
2		brrelex2 5081	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  Rel wrel 5043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045

This theorem is referenced by:  vtoclr  5086  brdomi  7852  domdifsn  7928  undom  7933  xpdom2  7940  xpdom1g  7942  domunsncan  7945  enfixsn  7954  fodomr  7996  pwdom  7997  domssex  8006  xpen  8008  mapdom1  8010  mapdom2  8016  pwen  8018  sucdom2  8041  unxpdom  8052  unxpdom2  8053  sucxpdom  8054  isfinite2  8103  infn0  8107  fin2inf  8108  fsuppimp  8164  suppeqfsuppbi  8172  fsuppsssupp  8174  fsuppunbi  8179  funsnfsupp  8182  mapfien2  8197  wemapso2  8341  card2on  8342  elharval  8351  harword  8353  brwdomi  8356  brwdomn0  8357  domwdom  8362  wdomtr  8363  wdompwdom  8366  canthwdom  8367  brwdom3i  8371  unwdomg  8372  xpwdomg  8373  unxpwdom  8377  infdifsn  8437  infdiffi  8438  isnum2  8654  wdomfil  8767  cdaen  8878  cdaenun  8879  cdadom1  8891  cdaxpdom  8894  cdainf  8897  infcda1  8898  pwcdaidm  8900  cdalepw  8901  infpss  8922  infmap2  8923  fictb  8950  infpssALT  9018  enfin2i  9026  fin34  9095  fodomb  9229  wdomac  9230  iundom2g  9241  iundom  9243  sdomsdomcard  9261  infxpidm  9263  engch  9329  fpwwe2lem3  9334  canthp1lem1  9353  canthp1lem2  9354  canthp1  9355  pwfseq  9365  pwxpndom2  9366  pwxpndom  9367  pwcdandom  9368  hargch  9374  gchaclem  9379  hasheni  12998  hashdomi  13030  brfi1indALT  13137  brfi1indALTOLD  13143  clim  14073  rlim  14074  ntrivcvgn0  14469  ssc1  16304  ssc2  16305  ssctr  16308  frgpnabl  18101  dprddomprc  18222  dprdval  18225  dprdgrp  18227  dprdf  18228  dprdssv  18238  subgdmdprd  18256  dprd2da  18264  1stcrestlem  21065  hauspwdom  21114  isref  21122  ufilen  21544  dvle  23574  uhgrav  25825  ushgraf  25831  ushgrauhgra  25832  umgraf2  25846  umgrares  25853  umisuhgra  25856  umgraun  25857  uslgrav  25866  usgrav  25867  uslgraf  25874  iscusgra0  25986  frisusgrapr  26518  locfinref  29236  isfne4  31505  fnetr  31516  topfneec  31520  fnessref  31522  refssfne  31523  phpreu  32563  climf  38689  climf2  38733  subgrv  40494  linindsv  42028