Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfne4 31505
 Description: The predicate "𝐵 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = 𝐴
isfne.2 𝑌 = 𝐵
Assertion
Ref Expression
isfne4 (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))

Proof of Theorem isfne4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 31503 . . 3 Rel Fne
21brrelex2i 5083 . 2 (𝐴Fne𝐵𝐵 ∈ V)
3 simpl 472 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑋 = 𝑌)
4 isfne.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐴
5 isfne.2 . . . . 5 𝑌 = 𝐵
63, 4, 53eqtr3g 2667 . . . 4 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
7 fvex 6113 . . . . . . 7 (topGen‘𝐵) ∈ V
87ssex 4730 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
10 uniexb 6866 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)
119, 10sylib 207 . . . 4 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
126, 11eqeltrrd 2689 . . 3 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13 uniexb 6866 . . 3 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1412, 13sylibr 223 . 2 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
154, 5isfne 31504 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
16 dfss3 3558 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
17 eltg 20572 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
1817ralbidv 2969 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
1916, 18syl5bb 271 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
2019anbi2d 736 . . 3 (𝐵 ∈ V → ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
2115, 20bitr4d 270 . 2 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))))
222, 14, 21pm5.21nii 367 1 (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  topGenctg 15921  Fnecfne 31501 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topgen 15927  df-fne 31502 This theorem is referenced by:  isfne4b  31506  isfne2  31507  isfne3  31508  fnebas  31509  fnetg  31510  topfne  31519  fnemeet1  31531  fnemeet2  31532  fnejoin1  31533  fnejoin2  31534
 Copyright terms: Public domain W3C validator