Theorem unxpdom2 8053

Description: Corollary of unxpdom 8052. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unxpdom2	⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7848	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5083	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		1onn 7606	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
5		xpsneng 7930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
6	3, 4, 5	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
7	6	ensymd 7893	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}))
8		endom 7868	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
10		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12		xpsneng 7930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
13	3, 11, 12	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 7893	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15		domentr 7901	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
16	10, 14, 15	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17		1n0 7462	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
18		xpsndisj 5476	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≠ ∅ → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20		undom 7933	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
21	9, 16, 19, 20	syl21anc 1317	. 2 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22		sdomentr 7979	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
23	7, 22	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
24		sdomentr 7979	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
25	14, 24	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
26		unxpdom 8052	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
27	23, 25, 26	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
28		xpen 8008	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	6, 13, 28	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30		domentr 7901	. . 3 ⊢ ((((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
31	27, 29, 30	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32		domtr 7895	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
33	21, 31, 32	syl2anc 691	1 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844

This theorem is referenced by: (None)