Theorem sdomentr 7979

Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomentr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 7868	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		sdomdomtr 7978	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 490	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   class class class wbr 4583   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844

This theorem is referenced by:  sdomen2  7990  unxpdom2  8053  sucxpdom  8054  findcard3  8088  fofinf1o  8126  sdomsdomcardi  8680  cardsdomel  8683  cardmin2  8707  alephnbtwn2  8778  pwsdompw  8909  infdif2  8915  fin23lem27  9033  axcclem  9162  numthcor  9199  sdomsdomcard  9261  pwcfsdom  9284  cfpwsdom  9285  inawinalem  9390  inatsk  9479  r1tskina  9483  tskuni  9484  rucALT  14798  iunmbl2  23132  dirith2  25017  erdszelem10  30436  mblfinlem1  32616  pellex  36417  rp-isfinite6  36883