Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1lem1 9353
 Description: Lemma for canthp1 9355. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1lem1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 8044 . . 3 1𝑜 ≺ 2𝑜
2 cdaxpdom 8894 . . 3 ((1𝑜𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
31, 2mpan2 703 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
4 sdom0 7977 . . . . . 6 ¬ 1𝑜 ≺ ∅
5 breq2 4587 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (1𝑜𝐴 ↔ 1𝑜 ≺ ∅))
64, 5mtbiri 316 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 1𝑜𝐴)
76con2i 133 . . . 4 (1𝑜𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 neq0 3889 . . . 4 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
97, 8sylib 207 . . 3 (1𝑜𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
10 relsdom 7848 . . . . . . . . . 10 Rel ≺
1110brrelex2i 5083 . . . . . . . . 9 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 enrefg 7873 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
15 df2o2 7461 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, {∅}}
16 pwpw0 4284 . . . . . . . . 9 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1715, 16eqtr4i 2635 . . . . . . . 8 2𝑜 = 𝒫 {∅}
18 0ex 4718 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
19 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
20 en2sn 7922 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
2118, 19, 20mp2an 704 . . . . . . . . 9 {∅} ≈ {𝑥}
22 pwen 8018 . . . . . . . . 9 ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
2417, 23eqbrtri 4604 . . . . . . 7 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}
25 xpen 8008 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴 ∧ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
2614, 24, 25sylancl 693 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27 snex 4835 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2827pwex 4774 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ V
29 uncom 3719 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3130snssd 4281 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32 undif 4001 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3331, 32sylib 207 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3429, 33syl5eq 2656 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35 difexg 4735 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37 canth2g 7999 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38 domunsn 7995 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
4034, 39eqbrtrrd 4607 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
41 xpdom1g 7942 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4228, 40, 41sylancr 694 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43 endomtr 7900 . . . . . 6 (((𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4426, 42, 43syl2anc 691 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45 pwcdaen 8890 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4636, 27, 45sylancl 693 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4746ensymd 7893 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
48 domentr 7901 . . . . 5 (((𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
4944, 47, 48syl2anc 691 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
5027a1i 11 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ V)
51 incom 3767 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥}))
52 disjdif 3992 . . . . . . . . 9 ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
5351, 52eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
5453a1i 11 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
55 cdaun 8877 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5636, 50, 54, 55syl3anc 1318 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5756, 34breqtrd 4609 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴)
58 pwen 8018 . . . . 5 (((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
5957, 58syl 17 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
60 domentr 7901 . . . 4 (((𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
6149, 59, 60syl2anc 691 . . 3 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
629, 61exlimddv 1850 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
63 domtr 7895 . 2 (((𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
643, 62, 63syl2anc 691 1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   × cxp 5036  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840   +𝑐 ccda 8872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-cda 8873 This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9354  canthp1  9355
 Copyright terms: Public domain W3C validator