Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1 9355
 Description: A slightly stronger form of Cantor's theorem: For 1 < 𝑛, 𝑛 + 1 < 2↑𝑛. Corollary 1.6 of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑔 𝑟 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 8044 . . . 4 1𝑜 ≺ 2𝑜
2 sdomdom 7869 . . . 4 (1𝑜 ≺ 2𝑜 → 1𝑜 ≼ 2𝑜)
3 cdadom2 8892 . . . 4 (1𝑜 ≼ 2𝑜 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜)
5 canthp1lem1 9353 . . 3 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
6 domtr 7895 . . 3 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
74, 5, 6sylancr 694 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
8 fal 1482 . . 3 ¬ ⊥
9 ensym 7891 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
10 bren 7850 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
119, 10sylib 207 . . . 4 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
12 f1of 6050 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → 𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 +𝑐 1𝑜))
13 relsdom 7848 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≺
1413brrelex2i 5083 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
15 pwidg 4121 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
17 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1812, 16, 17syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
19 cda1dif 8881 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
21 bren 7850 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
2220, 21sylib 207 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ∃𝑔 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
23 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 1𝑜𝐴)
24 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
25 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
26 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = 𝐴𝑥 = 𝐴))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
2826, 27ifbieq2d 4061 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤) = if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
2928cbvmptv 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3029coeq2i 5204 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤))) = ((𝑔𝑓) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
31 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3231fpwwecbv 9345 . . . . . . . . 9 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
33 eqid 2610 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3423, 24, 25, 30, 32, 33canthp1lem2 9354 . . . . . . . 8 ¬ ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
3534pm2.21i 115 . . . . . . 7 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → ⊥)
3622, 35exlimddv 1850 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ⊥)
3736ex 449 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → ⊥))
3837exlimdv 1848 . . . 4 (1𝑜𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → ⊥))
3911, 38syl5 33 . . 3 (1𝑜𝐴 → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → ⊥))
408, 39mtoi 189 . 2 (1𝑜𝐴 → ¬ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
41 brsdom 7864 . 2 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴))
427, 40, 41sylanbrc 695 1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊥wfal 1480  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   We wwe 4996   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840   +𝑐 ccda 8872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873 This theorem is referenced by:  finngch  9356  gchcda1  9357
 Copyright terms: Public domain W3C validator