MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdaen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdaen 8890
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdaen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwcdaen
StepHypRef Expression
1 ovex 6577 . . 3 (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ V
21pw2en 7952 . 2 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵))
3 2on 7455 . . . 4 2𝑜 ∈ On
4 mapcdaen 8889 . . . 4 ((2𝑜 ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
53, 4mp3an1 1403 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
6 pw2eng 7951 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
7 pw2eng 7951 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
8 xpen 8008 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 493 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
10 enen2 7986 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)) → ((2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵))))
125, 11mpbird 246 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
13 entr 7894 . 2 ((𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ∧ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
142, 12, 13sylancr 694 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Oncon0 5640  (class class class)co 6549  2𝑜c2o 7441  𝑚 cmap 7744  cen 7838   +𝑐 ccda 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-cda 8873
This theorem is referenced by:  pwcda1  8899  pwcdadom  8921  canthp1lem1  9353  gchxpidm  9370  gchhar  9380
  Copyright terms: Public domain W3C validator