MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdom 7997
Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdom (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4111 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
21breq1d 4593 . 2 (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3 reldom 7847 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelexi 5082 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 7974 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
76biimpar 501 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 simpl 472 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
9 fodomr 7996 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 8, 9syl2anc 691 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 vex 3176 . . . . 5 𝑓 ∈ V
12 fopwdom 7953 . . . . 5 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵onto𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1311, 12mpan 702 . . . 4 (𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1413exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1510, 14syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
163brrelex2i 5083 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
17 pwexg 4776 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
19 0ss 3924 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
20 sspwb 4844 . . . 4 (∅ ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵)
2119, 20mpbi 219 . . 3 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
22 ssdomg 7887 . . 3 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
2318, 21, 22mpisyl 21 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
242, 15, 23pm2.61ne 2867 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  ontowfo 5802  cdom 7839  csdm 7840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844
This theorem is referenced by:  cdalepw  8901  gchpwdom  9371  gchaclem  9379  2ndcredom  21063
  Copyright terms: Public domain W3C validator