Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdomi 13030
 Description: Non-strict order relation of the # function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdomi (𝐴𝐵 → (#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵))

Proof of Theorem hashdomi
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 simpr 476 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3 reldom 7847 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5083 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
54adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
6 hashdom 13029 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → ((#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
72, 5, 6syl2anc 691 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
81, 7mpbird 246 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵))
9 pnfxr 9971 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
10 pnfge 11840 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
119, 10mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → +∞ ≤ +∞)
123brrelexi 5082 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
13 hashinf 12984 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
1412, 13sylan 487 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
154adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
16 domfi 8066 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
1716stoic1b 1689 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
18 hashinf 12984 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
1915, 17, 18syl2anc 691 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
2011, 14, 193brtr4d 4615 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵))
218, 20pm2.61dan 828 1 (𝐴𝐵 → (#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  hashge0  13037  o1fsum  14386  incexc2  14409  dchrisum0re  25002  usgraedgleord  25923  esumcst  29452  idomodle  36793  usgredgleord  40455  uspgredgaleord  40459
 Copyright terms: Public domain W3C validator